Achar uma primitiva das funções seguintes :
h(x)=1x^2 arctan x .

Passo 1

Neste exercício vamos achar uma primitiva da função h(x)=1x^2arctan x. O conteúdo que vamos usar é integração por partes para lidar com o produto de funções e, depois, frações parciais para integrar o termo racional resultante.

Passo 2

Usamos a fórmula de integração por partes integral u,dv = uv - integral v,du. Escolhemos u=arctan x e dv=x^-2dx. Então
du=dfrac11+x^2dx e v=integral x^-2dx=-x^-1. Substituindo na fórmula, obtemos
integral arctan xx^2dx = -arctan xx + integral 1x(1+x^2)dx

Passo 3

Para calcular integral 1x(1+x^2)dx, fazemos frações parciais. Escrevemos
1x(1+x^2) = 1x - x1+x^2

Passo 4

Integrando termo a termo, temos integral1xdx=ln|x| e integralx1+x^2dx=tfrac12ln(1+x^2). Logo
integral 1x(1+x^2)dx = ln|x| - 12ln(1+x^2)

Passo 5

Substituindo de volta na expressão inicial, chegamos à primitiva geral da função.

Resposta

-\frac{\arctan x}{x} + \ln|x| - \tfrac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C

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