a) Determine se o campo vetorial (1,0) é ou não conservativo.
b) Determine o trabalho exercido para ir do ponto (1,1) até o ponto .
(W= e(e-1) J)

Passo 1

Neste exercício vamos verificar se o campo vetorial vec F(x,y)=(e^x+y+1),vec i + e^x+y,vec j é conservativo e, em caso afirmativo, usar sua função potencial para calcular o trabalho entre dois pontos. O conteúdo envolve teste de conservatividade e cálculo de trabalho via função potencial.

Passo 2

Para saber se vec F é conservativo, lembramos que em um domínio simplesmente conectado em R^2 basta conferir se partial F1partial y=partial F2partial x. Aqui temos F1(x,y)=e^x+y+1 e F2(x,y)=e^x+y. Calculando as derivadas:
partial F1partial y=e^x+y,
partial F2partial x=e^x+y
Como são iguais em todo R^2, o campo é conservativo.

Passo 3

Para encontrar a função potencial φ(x,y) tal que nabla φ=vec F, integramos φx=F1 em relação a x:
φ(x,y)=integral(e^x+y+1),dx=e^x+y+x+h(y),
onde h(y) é função desconhecida de y. Em seguida, derivamos em relação a y e igualamos a F2:
φy=e^x+y+h'(y)=e^x+yimplies h'(y)=0implies h(y)=C
Logo
φ(x,y)=e^x+y+x+C

Passo 4

Como o trabalho entre dois pontos num campo conservativo é dado por W=φ(B)-φ(A), vamos dos pontos A=(1,0) a B=(1,1). Calculamos
φ(1,1)=e^2+1+C,
φ(1,0)=e+1+C
Assim
W=(e^2+1+C)-(e+1+C)=e^2-e=e(e-1)

Resposta

O campo é conservativo e o trabalho para ir de (1,0) até (1,1) é e(e-1) J.

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