Encontre a equação cartesiana do plano que passa por p e é perpendicular ao vetor A=(1,-2,1): p=(1,1,1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação cartesiana de um plano que passa pelo ponto e que é perpendicular ao vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Sabemos que a equação geral de um plano pode ser escrita usando um ponto que pertence ao plano e um vetor normal a ele. A forma geral da equação é:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde:
  • são as coordenadas de um ponto conhecido no plano.
  • são as componentes do vetor normal ao plano.

Passo 3

No nosso caso, o ponto está no plano, então substituímos por . O vetor normal ao plano é dado por , então , e .

Passo 4

Substituindo as informações na equação geral:
1(x - 1) + (-2)(y - 1) + 1(z - 1) = 0

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação:
(x - 1) - 2(y - 1) + (z - 1) = 0
Distribuindo os termos:
x - 1 - 2y + 2 + z - 1 = 0
Simplificando os termos constantes:
x - 2y + z = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano é .

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