Achar uma representação por meio de série de potências da função, calcular a integral indefinida como una série de potências e determinar o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação da função
usando uma série de potências. Depois, vamos calcular a integral indefinida dessa série e descobrir para quais valores de
essa série funciona direitinho, ou seja, determinar o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e integrações termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências da função
. Sabemos que:
Agora, substituímos
por
para obter a série para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral indefinida dessa série de potências. Integramos termo a termo:
Integrando
em relação a
:
Portanto, a integral fica:
Passo 4
Para saber onde essa série converge, vamos analisar o intervalo de convergência da série original de
. Sabemos que a série de
converge para
. Como substituímos
por
, temos:
Então, a série de
converge para
. A integração termo a termo mantém o mesmo intervalo de convergência.
Resposta
A integral indefinida de
representada por uma série de potências é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.