Achar uma representação por meio de série de potências da função, calcular a integral indefinida como una série de potências e determinar o intervalo de convergência.
integral tan ^-1(t^2) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação da função usando uma série de potências. Depois, vamos calcular a integral indefinida dessa série e descobrir para quais valores de essa série funciona direitinho, ou seja, determinar o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e integrações termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências da função arctan(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1, para |x| <= 1 . Sabemos que:
arctan(t^2) = sumn=0^infty (-1)^n (t^2)^2n+12n+1 = sumn=0^infty (-1)^n t^4n+22n+1
Agora, substituímos por para obter a série para :

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral indefinida dessa série de potências. Integramos termo a termo:
integral arctan(t^2) , dt = integral sumn=0^infty (-1)^n t^4n+22n+1 , dt = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 integral t^4n+2 , dt
Integrando integral t^4n+2 , dt = t^4n+34n+3 + C em relação a integral arctan(t^2) , dt = sumn=0^infty (-1)^n t^4n+3(2n+1)(4n+3) + C :
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Para saber onde essa série converge, vamos analisar o intervalo de convergência da série original de |t^2| <= 1 implies |t| <= 1 . Sabemos que a série de converge para . Como substituímos por , temos:
Então, a série de converge para . A integração termo a termo mantém o mesmo intervalo de convergência.

Resposta

A integral indefinida de integral arctan(t^2) , dt = sumn=0^infty (-1)^n t^4n+3(2n+1)(4n+3) + C representada por uma série de potências é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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