Calcule integral triplaD x y z d V onde a região D é descrita por: 0 <= x <= 1, x^2 <= y <= 1,0 <= z <= x+y

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla de sobre a região . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração para cada uma das variáveis , e , e então integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de , varia de a 1.
  • Para cada par , varia de 0 a .
Isso nos dá a ordem de integração: , , .

Passo 3

Vamos escrever a integral tripla com os limites identificados:
integral triplaD x y z , dV = integral0^1 integralx^2^1 integral0^x+y x y z , dz , dy , dx

Passo 4

Começamos integrando em relação a integral0^x+y x y z , dz = x y [ z^22 ]0^x+y = x y ( (x + y)^22 ) = x y (x + y)^22 :

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a integralx^2^1 x y (x + y)^22 , dy :
x2 integralx^2^1 y (x^2 + 2xy + y^2) , dy = x2 [ integral y x^2 , dy + 2x integral y^2 , dy + integral y^3 , dy ]
Vamos expandir x2 [ x^2 cdot y^22 + 2x cdot y^33 + y^44 ]x^2^1 :
Calculando cada integral:

Passo 6

Substituindo os limites de x2 [ x^2 cdot 12 + 2x cdot 13 + 14 - ( x^2 cdot x^42 + 2x cdot x^63 + x^84 ) ] :
x2 ( x^22 + 2x3 + 14 - x^62 - 2x^73 - x^84 )
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^1 x2 ( x^22 + 2x3 + 14 - x^62 - 2x^73 - x^84 ) dx de 0 a 1:
12 integral0^1 ( x^32 + 2x^23 + x4 - x^72 - 2x^83 - x^94 ) dx
Distribuindo 12 [ x^48 + 2x^39 + x^28 - x^816 - 2x^927 - x^1040 ]0^1 :
12 ( 18 + 29 + 18 - 116 - 227 - 140 )
Integrando termo a termo:
Substituindo e :

Passo 8

Calculando os valores:
12 ( 18 + 29 + 18 - 116 - 227 - 140 ) = 12 cdot 85432 = 85864

Resposta

O valor da integral tripla é .

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