Calcule
onde a região D é descrita por:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla de
sobre a região
. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração para cada uma das variáveis
,
e
, e então integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
-
varia de 0 a 1. - Para cada valor de
, varia de a 1. - Para cada par
, varia de 0 a .
Isso nos dá a ordem de integração:
,
,
.
Passo 3
Vamos escrever a integral tripla com os limites identificados:
Passo 4
Começamos integrando em relação a
:
Passo 5
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Vamos expandir
:
Calculando cada integral:
Passo 6
Substituindo os limites de
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
de 0 a 1:
Distribuindo
:
Integrando termo a termo:
Substituindo
e
:
Passo 8
Calculando os valores:
Resposta
O valor da integral tripla é
.