Calcule integral triplaD x y z d V onde a região D é descrita por: -1 <= x <= 2,0 <= y <= 1,1 <= z <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaD x y z , dV, onde a região está definida por , e . Esse tipo de integral é usado para encontrar volumes ou outras quantidades acumuladas em uma região tridimensional. Vamos precisar usar as propriedades das integrais múltiplas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma região retangular, como nesse caso, podemos separar a integral tripla em três integrais simples. Isso facilita muito a resolução. Então, a nossa integral fica:
integral triplaD x y z , dV = ( integral-1^2 x , dx ) ( integral0^1 y , dy ) ( integral1^2 z , dz )

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Começando com a integral em integral-1^2 x , dx = [ 12x^2 ]-1^2 = 12(2)^2 - 12(-1)^2 = 12(4) - 12(1) = 2 - 0,5 = 1,5 :

Passo 4

Agora, a integral em integral0^1 y , dy = [ 12y^2 ]0^1 = 12(1)^2 - 12(0)^2 = 12 - 0 = 0,5 :

Passo 5

Por último, a integral em integral1^2 z , dz = [ 12z^2 ]1^2 = 12(2)^2 - 12(1)^2 = 12(4) - 12(1) = 2 - 0,5 = 1,5 :

Passo 6

Agora que temos os valores das três integrais, basta multiplicá-los para obter o resultado final da integral tripla:
1,5 times 0,5 times 1,5 = 1,125

Resposta

O valor da integral tripla é 1,125.

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