Uma massa pesando 3,6 kg provoca um alongamento em uma mola de 3,8 cm. A massa está presa a um amortecedor com coeficiente de amortecimento gamma. Determine o valor de gamma para o qual o sistema tem amortecimento crítico.
Dica: A unidade de medida do coeficiente de amortecimento é N/m. Use g = 10 m/s^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma massa de que está fazendo uma mola se estender . Além disso, essa massa está ligada a um amortecedor com um coeficiente de amortecimento . A pergunta quer que a gente encontre o valor de que faz com que o sistema tenha um amortecimento crítico. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre sistemas massa-mola-amortecedor e a condição para amortecimento crítico.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. A extensão da mola está em centímetros, então vamos converter para metros:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a constante da mola . Sabemos que a força exercida pela mola é dada por Hooke:
A força também é o peso da massa, que é:
Onde e .
Igualando as duas expressões:

Passo 4

Vamos resolver para :

Passo 5

Agora, sabemos que para um sistema massa-mola-amortecedor, o amortecimento crítico ocorre quando o coeficiente de amortecimento satisfaz a seguinte condição:
í
Essa é a condição para que o sistema retorne ao equilíbrio o mais rapidamente possível sem oscilar.

Passo 6

Vamos calcular í usando os valores que encontramos:
í
Primeiro, multiplicamos os valores dentro da raiz:
Então:
í

Resposta

O valor do coeficiente de amortecimento para que o sistema tenha amortecimento crítico é aproximadamente .

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