Uma massa pesando
provoca um alongamento em uma mola de
. A massa está presa a um amortecedor com coeficiente de amortecimento
. Determine o valor de
para o qual o sistema tem amortecimento crítico.
Dica: A unidade de medida do coeficiente de amortecimento é
. Use
.
Dica: A unidade de medida do coeficiente de amortecimento é
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma massa de
que está fazendo uma mola se estender
. Além disso, essa massa está ligada a um amortecedor com um coeficiente de amortecimento
. A pergunta quer que a gente encontre o valor de
que faz com que o sistema tenha um amortecimento crítico. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre sistemas massa-mola-amortecedor e a condição para amortecimento crítico.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. A extensão da mola está em centímetros, então vamos converter para metros:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a constante da mola
. Sabemos que a força exercida pela mola é dada por Hooke:
A força
também é o peso da massa, que é:
Onde
e
.
Igualando as duas expressões:
Passo 4
Vamos resolver para
:
Passo 5
Agora, sabemos que para um sistema massa-mola-amortecedor, o amortecimento crítico ocorre quando o coeficiente de amortecimento
satisfaz a seguinte condição:
Essa é a condição para que o sistema retorne ao equilíbrio o mais rapidamente possível sem oscilar.
Passo 6
Vamos calcular
usando os valores que encontramos:
Primeiro, multiplicamos os valores dentro da raiz:
Então:
Resposta
O valor do coeficiente de amortecimento
para que o sistema tenha amortecimento crítico é aproximadamente
.