Calcule
onde a região D é descrita por:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que calcular a integral tripla
, onde a região
é definida por:
Esse problema faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e aplicar a fórmula da integral tripla passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração para cada variável. A integral tripla
significa que vamos integrar a função
sobre a região
.
Os limites dados são:
- Para
: de 1 a 2. - Para
: de 0 a . - Para
: de a .
Isso significa que para cada valor de
entre 1 e 2,
varia de 0 até
, e para cada par
,
varia de
até
.
Passo 3
Vamos configurar a integral tripla com esses limites. A ordem de integração será
primeiro, depois
, e por último
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a
. A função a ser integrada é
, e os limites para
são de
a
:
A integral de
em relação a
é
. Calculando nos limites:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro dos colchetes:
Expandindo os quadrados:
Então, a expressão se torna:
Passo 6
Agora, nossa integral simplificada fica:
Vamos integrar em relação a
. A função a ser integrada é
:
A integral de
em relação a
é
. Calculando nos limites:
Passo 7
Agora, nossa integral está reduzida a uma única variável:
Vamos integrar
em relação a
:
A integral de
em relação a
é
. Calculando nos limites:
Resposta
O valor da integral tripla é
.