Calcule integral triplaD x y z d V onde a região D é descrita por: 0 <= x <= z^2, x-z <= y <= x+z, 1 <= z <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que calcular a integral tripla , onde a região é definida por:
Esse problema faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e aplicar a fórmula da integral tripla passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração para cada variável. A integral tripla significa que vamos integrar a função sobre a região .
Os limites dados são:
  • Para : de 1 a 2.
  • Para : de 0 a .
  • Para : de a .
Isso significa que para cada valor de entre 1 e 2, varia de 0 até , e para cada par , varia de até .

Passo 3

Vamos configurar a integral tripla com esses limites. A ordem de integração será integralz=1^2 integralx=0^z^2 integraly=x - z^x + z x y z , dy , dx , dz primeiro, depois , e por último . Assim, a integral fica:

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a integraly=x - z^x + z x y z , dy = x z integralx - z^x + z y , dy . A função a ser integrada é x z [ (x + z)^22 - (x - z)^22 ] , e os limites para são de a :
A integral de em relação a é . Calculando nos limites:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro dos colchetes:
(x + z)^2 - (x - z)^22
Expandindo os quadrados:
(x^2 + 2xz + z^2) - (x^2 - 2xz + z^2)2 = 4xz2 = 2xz
Então, a expressão se torna:
x z cdot 2xz = 2x^2 z^2

Passo 6

Agora, nossa integral simplificada fica:
integralz=1^2 integralx=0^z^2 2x^2 z^2 , dx , dz
Vamos integrar em relação a 2 z^2 integral0^z^2 x^2 , dx . A função a ser integrada é 2 z^2 [ (z^2)^33 - 0 ] = 2 z^2 cdot z^63 = 2 z^83 :
A integral de em relação a é . Calculando nos limites:

Passo 7

Agora, nossa integral está reduzida a uma única variável:
integralz=1^2 2 z^83 , dz
Vamos integrar 23 integral1^2 z^8 , dz em relação a 23 [ 2^99 - 1^99 ] = 23 ( 5129 - 19 ) = 23 cdot 5119 = 102227 :
A integral de em relação a é . Calculando nos limites:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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