Determine o raio de convergência e todos os valores de x para os quais as seguintes séries de potência convergem.
8.) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{\sqrt{n^{2}+3}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar o raio de convergência e listar todos os valores de x para os quais a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{\sqrt{n^{2}+3}}
converge. As informações dadas são os coeficientes da série de potência: para todo n\ge1 o coeficiente associado a x^n é
a_n=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+3}}.
Não há mais dados externos: precisamos analisar a convergência em função de x\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}), encontrando o raio R e o comportamento nos extremos x=\pm1.

Passo 2

Lembrete rápido e método para o raio: para uma série de potência \sum a_n x^n o raio de convergência R pode ser obtido por
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Aqui a_n=(n^{2}+3)^{-1/2}. Vou calcular \lim_{n\to\infty} a_n^{1/n}. Primeiro escrevo
a_n^{1/n}=(n^{2}+3)^{-1/(2n)}=\exp\!\Big(-\frac{\ln(n^{2}+3)}{2n}\Big).
Agora observe que \ln(n^{2}+3)\sim 2\ln n quando n\to\infty, logo
\frac{\ln(n^{2}+3)}{2n}\to 0 \quad\text{quando }n\to\infty.
Assim
\lim_{n\to\infty} a_n^{1/n}=\exp(0)=1.
Portanto \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}=1 e, pela fórmula, o raio é
R=\frac{1}{1}=1.

Passo 3

Interpretação do raio: o resultado R=1 significa que a série converge absolutamente para todo x com |x|<1 e diverge para |x|>1. Para justificar a convergência absoluta em |x|<1 uso o teste da raiz: calcule
\limsup_{n\to\infty} \Big|a_n x^n\Big|^{1/n}=\limsup_{n\to\infty} a_n^{1/n}\cdot |x| = 1\cdot |x|=|x|.
Pelo teste da raiz, se esse limite é menor que 1 (i.e. |x|<1) então a série \sum a_n x^n converge absolutamente. Se |x|>1 o limite é >1 e a série diverge.

Passo 4

Faltam os extremos |x|=1. Começo por x=1. A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+3}}.
Para testar divergência posso comparar com a série harmônica \sum 1/n. Faço a comparação por limite:
\lim_{n\to\infty} \frac{1/\sqrt{n^{2}+3}}{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+3}}=1.
Como \sum 1/n diverge e o quociente dos termos tende a 1 (constante não nula), pela comparação limite a série em x=1 também diverge.

Passo 5

Agora x=-1. A série fica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n^{2}+3}}.
Isto é uma série alternada de termos b_n=1/\sqrt{n^{2}+3}. Vou aplicar o teste de Leibniz (teste da série alternada), que diz: se b_n\ge0, b_{n+1}\le b_n (eventualmente monotona decrescente) e b_n\to 0, então \sum (-1)^n b_n converge. Verifico as hipóteses:
  • b_n>0 para todo n.
  • \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+3}}=0.
  • b_n é monotona decrescente para n\ge1: pode-se ver isso considerando a função f(x)=(x^{2}+3)^{-1/2} para x\ge1; sua derivada é f'(x)=-x(x^{2}+3)^{-3/2}<0, então f é decrescente e, em particular, b_{n+1}<b_n para todo n. Portanto as hipóteses do teste de Leibniz valem e a série converge para x=-1.
    Além disso, a convergência em x=-1 não é absoluta, pois \sum |(-1)^n/\sqrt{n^{2}+3}|=\sum 1/\sqrt{n^{2}+3} que já mostrei que diverge. Logo a convergência em x=-1 é condicional.

Passo 6

Conclusão final reunindo tudo: o raio de convergência é R=1; a série converge absolutamente para |x|<1; diverge para |x|>1; no ponto x=1 diverge; no ponto x=-1 converge condicionalmente.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Converge para todos x com |x|<1 (convergência absoluta).
Diverge para x=1.
Converge condicionalmente para x=-1.

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