Derive as funçōes conforme indicado:
f(x)=x+\cos (x), \quad f^{\prime \prime}(x)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x+\cos(x)
e pede para encontrar a derivada segunda, isto é f''(x).
Informações relevantes: a função é soma de duas partes — a parte polinomial x e a parte trigonométrica \cos(x). O objetivo é calcular a derivada primeira f'(x) e depois derivar novamente para obter f''(x).

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (tudo explicadinho):
  • Regra da soma: se \;g(x)=u(x)+v(x)\; então
g'(x)=u'(x)+v'(x).
Isto significa que podemos derivar cada parcela separadamente e somar os resultados.
  • Derivada de \;x\;: pelo limite da diferença quociente,
\frac{d}{dx}x=1,
porque \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h}=1.
  • Derivada de \cos(x): é uma regra básica de trigonometria diferencial:
\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
Intuição rápida: a variação instantânea de \cos é negativa quando \sin é positiva, daí o sinal menos; é um fato clássico que pode ser demonstrado via limites e identidades trigonométricas, mas aqui usamos como resultado padrão.
  • Derivada de \sin(x): para usar logo em seguida,
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).

Passo 3

Agora aplicamos a regra da soma para obter a derivada primeira. Usando que \dfrac{d}{dx}x=1 e \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x), temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr)=1+(-\sin(x)).
Simplificando,
f'(x)=1-\sin(x).

Passo 4

Para obter a derivada segunda, derivamos f'(x). Novamente aplicamos regras básicas: a derivada de uma constante é zero e a derivada de -\sin(x) é -\cos(x) porque \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x). Assim,
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(\sin(x)\bigr)=0-\cos(x).
Portanto
f''(x)=-\cos(x).

Passo 5

Verificação rápida em pontos fáceis (piscar de olhos para sentir confiança):
  • Em x=0: f''(0)=-\cos(0)=-1.
  • Em x=\tfrac{\pi}{2}: f''\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
    Esses valores batem com a forma da função original (faz sentido que a curvatura mude sinal quando \cos muda).

Resposta

f''(x)=-\cos(x)

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