Derive as funçōes conforme indicado:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada segunda, isto é
.
Informações relevantes: a função é soma de duas partes — a parte polinomial e a parte trigonométrica
. O objetivo é calcular a derivada primeira
e depois derivar novamente para obter
.
Informações relevantes: a função é soma de duas partes — a parte polinomial
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (tudo explicadinho):
- Regra da soma: se
então
Isto significa que podemos derivar cada parcela separadamente e somar os resultados.
- Derivada de
: pelo limite da diferença quociente,
porque
.
- Derivada de
: é uma regra básica de trigonometria diferencial:
Intuição rápida: a variação instantânea de
é negativa quando
é positiva, daí o sinal menos; é um fato clássico que pode ser demonstrado via limites e identidades trigonométricas, mas aqui usamos como resultado padrão.
- Derivada de
: para usar logo em seguida,
Passo 3
Agora aplicamos a regra da soma para obter a derivada primeira. Usando que
e
, temos
Simplificando,
Passo 4
Para obter a derivada segunda, derivamos
. Novamente aplicamos regras básicas: a derivada de uma constante é zero e a derivada de
é
porque
. Assim,
Portanto
Passo 5
Verificação rápida em pontos fáceis (piscar de olhos para sentir confiança):
- Em
: . - Em
: .
Esses valores batem com a forma da função original (faz sentido que a curvatura mude sinal quandomuda).