Determine o raio de convergência e todos os valores de x para os quais as seguintes séries de potência convergem.
5.) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{10^{n}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar o raio de convergência e listar todos os valores de x para os quais a série converge. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^{n}}{10^{n}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Termo geral da série: \dfrac{(x-2)^{n}}{10^{n}}.
  • A série é uma série de potências centrada em x=2.
    A resolução começa agora.

Passo 2

Reconhecer a forma da série. Podemos escrever cada termo como uma potência de um único quociente:
\frac{(x-2)^{n}}{10^{n}}=\left(\frac{x-2}{10}\right)^{n}.
Logo a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x-2}{10}\right)^{n}.
Isto é exatamente uma série geométrica com razão
r=\frac{x-2}{10}
e primeiro termo (quando n=1) igual a r.

Passo 3

Lembrete sobre séries geométricas (mini-aula): uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Neste caso, quando |r|<1 a soma vale
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Por que esse critério? Porque para |r|<1 temos \lim_{n\to\infty} r^{n}=0 e a fórmula da soma finita leva ao limite finito; se |r|\ge1 os termos não tendem a zero (ou não somam para um valor finito), logo a série diverge.

Passo 4

Aplicar o critério ao nosso r=\dfrac{x-2}{10}. A condição de convergência é
\left|\frac{x-2}{10}\right|<1.
Multiplicando por 10 (positivo, então não inverte sinal):
|x-2|<10.
Isto define um intervalo aberto em torno do centro 2. Resolvendo a desigualdade:
-10<x-2<10
-8<x<12.
Portanto o raio de convergência (distância máxima do centro 2 até os extremos) é
R=10.

Passo 5

Precisamos verificar os extremos x=2\pm R, ou seja x=12 e x=-8, porque a condição |x-2|<10 foi estrita e os extremos podem ou não convergir.
Testar x=12:
Substituindo na série, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{12-2}{10}\right)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}1^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}1.
Os termos não tendem a zero (cada termo é 1), portanto a série diverge.

Passo 6

Testar x=-8:
Substituindo na série, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-8-2}{10}\right)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}.
Os somatórios parciais alternam entre -1 e 0, não tendo limite; portanto a série também diverge para x=-8.

Passo 7

Conclusão final (interpretação prática): a série é uma série geométrica de razão r=(x-2)/10. Converge exatamente quando |r|<1, ou seja quando |x-2|<10. Os dois extremos x=-8 e x=12 não pertencem ao conjunto de convergência porque em ambos a série diverge.

Resposta

R=10
A série converge para todos os x tais que -8<x<12.

Exercícios relacionados