Achar uma representação por meio de séries de potências das seguintes funções e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma representação da função
usando séries de potências e, depois, determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências, como elas são formadas e como identificar onde elas convergem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências tem a forma geral:
onde
é o centro da série e
são os coeficientes. Nosso objetivo é reescrever
de maneira que se pareça com essa forma.
Passo 3
Observamos que
pode ser reescrita como:
Queremos expressar essa função em termos de
, então vamos escolher
, já que
.
Passo 4
Conhecendo a forma de
, onde
, sabemos que a derivada de uma série geométrica básica
nos dá:
Aplicando isso à nossa função, onde
:
Passo 5
Simplificando a expressão acima, temos:
Essa é a representação em série de potências da função
.
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência da série. Sabemos que a série geométrica
converge quando
. No nosso caso,
, então a condição de convergência é:
Portanto, o intervalo de convergência é
.
Resposta
A representação por meio de séries de potências da função
é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.