Achar uma representação por meio de séries de potências das seguintes funções e determine o intervalo de convergência.
f(x) = -1 / (x + 1) ^ 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma representação da função usando séries de potências e, depois, determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências, como elas são formadas e como identificar onde elas convergem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências tem a forma geral:
onde é o centro da série e são os coeficientes. Nosso objetivo é reescrever de maneira que se pareça com essa forma.

Passo 3

Observamos que pode ser reescrita como:
Queremos expressar essa função em termos de , então vamos escolher , já que .

Passo 4

Conhecendo a forma de , onde , sabemos que a derivada de uma série geométrica básica nos dá:
Aplicando isso à nossa função, onde :

Passo 5

Simplificando a expressão acima, temos:
Essa é a representação em série de potências da função .

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência da série. Sabemos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então a condição de convergência é:
Portanto, o intervalo de convergência é .

Resposta

A representação por meio de séries de potências da função é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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