Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo:
a equação característica é:
No nosso caso,
,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Como as duas raízes
e
são reais e diferentes, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo os valores das raízes:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeira condição:
Substituindo
na solução geral:
Segunda condição:
Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Substituindo
:
Agora, resolvemos o sistema de equações (1) e (2):
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então, substituindo
na equação (1):
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: