Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(a) 6 y'' - 5 y' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo:
a equação característica é:
No nosso caso, , e . Então, a equação característica fica:

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, temos duas raízes:

Passo 4

Como as duas raízes e são reais e diferentes, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo os valores das raízes:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
Segunda condição:
Primeiro, vamos calcular a derivada de :
Substituindo :
Agora, resolvemos o sistema de equações (1) e (2):
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então, substituindo na equação (1):

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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