Verifique se a equação dada é linear. Se for, resolva: d/y = y + e^x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem a equação diferencial . A primeira coisa é verificar se essa equação é linear. Para isso, precisamos lembrar que uma equação diferencial de primeira ordem é linear se ela pode ser escrita no formato . Aqui, vamos identificar os termos e ver se encaixam nesse formato.

Passo 2

Vamos reescrever a equação dada para ver se ela se encaixa no formato de uma equação linear. Temos:
Podemos rearranjar essa equação para:
Agora, comparando com o formato , vemos que e . Como conseguimos expressar a equação nesse formato, concluímos que ela é linear.

Passo 3

Agora que sabemos que é uma equação linear, vamos resolver usando o método do fator integrante. Primeiro, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Aqui, , então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto do fator integrante com y:
Agora, vamos integrar os dois lados em relação a x:
Isso nos dá:
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar y, vamos multiplicar ambos os lados por e^x:

Resposta

A solução da equação é , onde C é uma constante qualquer.

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