Verifique se a equação dada é linear. Se for, resolva:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem a equação diferencial
. A primeira coisa é verificar se essa equação é linear. Para isso, precisamos lembrar que uma equação diferencial de primeira ordem é linear se ela pode ser escrita no formato
. Aqui, vamos identificar os termos e ver se encaixam nesse formato.
Passo 2
Vamos reescrever a equação dada para ver se ela se encaixa no formato de uma equação linear. Temos:
Podemos rearranjar essa equação para:
Agora, comparando com o formato
, vemos que
e
. Como conseguimos expressar a equação nesse formato, concluímos que ela é linear.
Passo 3
Agora que sabemos que é uma equação linear, vamos resolver usando o método do fator integrante. Primeiro, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Aqui,
, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto do fator integrante com
:
Agora, vamos integrar os dois lados em relação a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar
, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Resposta
A solução da equação é
, onde
é uma constante qualquer.