Sabemos que dado um conjunto discreto X=n1, ldots, nk seu VAlor MÉdio, é dado pela média aritmética de seus elementos, i.e., é calculado por meio da expressão
barX=sumi=1^k nik
No caso contínuo, se uma função f:[a, b] R é contínua e limitada no intervalo [a, b], podemos definir seu valor médio de maneira análoga, mas agora, a soma passa a ser uma integral e o número de elementos passa a ser o intervalo sobre o qual a função está definida, ou seja, o valor médio de f é o número
f[a, b]=integrala^b f(x) d xb-a
Determine o valor médio da função f(x)=sin ^2(x) cos ^3(x) no intervalo [-pi, pi].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor médio da função no intervalo de a . Isso é matéria de cálculo, especificamente sobre valor médio de funções contínuas. Para resolver, vamos usar a fórmula do valor médio que envolve integrar a função no intervalo e dividir pelo tamanho do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do valor médio para uma função contínua f[a, b] = 1b - a integrala^b f(x) , dx no intervalo :
Aqui, e . Então, o tamanho do intervalo é .

Passo 3

Agora, vamos substituir f[-pi, pi] = 12pi integral-pi^pi sin^2(x) cos^3(x) , dx na fórmula:
Então, precisamos calcular essa integral.

Passo 4

Para resolver a integral integral sin^2(x) cos^3(x) , dx = integral u^2 (1 - u^2) , du , vamos usar uma substituição. Vamos deixar , então .
Mas temos , o que é . Sabemos que .
Substituindo tudo:

Passo 5

Agora, vamos expandir e integrar termo a termo:
integral u^2 (1 - u^2) , du = integral u^2 - u^4 , du = u^33 - u^55 + C
Voltando para sin^3(x)3 - sin^5(x)5 + C :

Passo 6

Agora, precisamos avaliar essa antiderivada de [ sin^3(x)3 - sin^5(x)5 ]-pi^pi a ( 03 - 05 ) - ( 03 - 05 ) = 0 :
Sabemos que , então:
Então, a integral é igual a 0.

Passo 7

Agora, voltamos à fórmula do valor médio:
f[-pi, pi] = 12pi times 0 = 0

Resposta

O valor médio da função no intervalo é 0.

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