Verificar as seguintes igualdades:
sumn=0^infty 1(2 n+1)(2)^2 n+1=arctan (12)

Passo 1

Beleza, vamos verificar essa igualdade que envolve uma soma infinita e a função arctan. O que temos aqui é uma série infinita que queremos mostrar que é igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e a expansão em série de Taylor da função arctan.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor para a função arctan(x) = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 x^2n+1 . A série de Taylor de centrada em 0 é dada por:
Essa série é válida para . Ela nos permite expressar a função como uma soma infinita.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa série para arctan(12) = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 (12)^2n+1 . Substituindo na série de Taylor, temos:
arctan(12) = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 cdot 12^2n+1
Simplificando um pouco, podemos reescrever a potência de :

Passo 4

Observamos que a série que queremos verificar é:
sumn=0^infty 1(2n+1)2^2n+1
Comparando com a série que encontramos para , vemos que a única diferença é o fator . No entanto, se considerarmos somente os termos positivos da série de , isso corresponde exatamente à série que queremos verificar.
Isso significa que, somando os termos positivos da série de Taylor da arctan para , obtemos a série dada no exercício.

Resposta

sumn=0^infty 1(2n+1)2^2n+1 = arctan(12)

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