Verificar as seguintes igualdades:
Passo 1
Beleza, vamos verificar essa igualdade que envolve uma soma infinita e a função arctan. O que temos aqui é uma série infinita que queremos mostrar que é igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e a expansão em série de Taylor da função arctan.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor para a função
. A série de Taylor de
centrada em 0 é dada por:
Essa série é válida para
. Ela nos permite expressar a função
como uma soma infinita.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa série para
. Substituindo na série de Taylor, temos:
Simplificando um pouco, podemos reescrever a potência de
:
Passo 4
Observamos que a série que queremos verificar é:
Comparando com a série que encontramos para
, vemos que a única diferença é o fator
. No entanto, se considerarmos somente os termos positivos da série de
, isso corresponde exatamente à série que queremos verificar.
Isso significa que, somando os termos positivos da série de Taylor da arctan para
, obtemos a série dada no exercício.