Achar uma representação por meio de séries de potências das seguintes funções e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma representação por meio de séries de potências para a função
e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos utilizar a fórmula da série geométrica, que é essencial nesse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série geométrica. Ela é dada por:
Essa fórmula nos diz que a soma dos termos
de
até o infinito é igual a
, desde que o valor absoluto de
seja menor que 1. Isso é crucial para garantir que a série converge, ou seja, que a soma dos termos não cresce infinitamente.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função
. Observamos que essa função tem a mesma forma da série geométrica se considerarmos
. Assim, podemos reescrever
como uma série:
Aqui, expandimos
para obter
, que é a forma geral dos termos da nossa série de potências.
Passo 4
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge quando
. No nosso caso,
, então:
Isso significa que a série converge para todos os valores de
cuja distância do zero seja menor que 1, ou seja, quando
está no intervalo aberto entre -1 e 1.
Resposta
A representação por meio de séries de potências da função
é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.