Achar uma representação por meio de séries de potências das seguintes funções e determine o intervalo de convergência.
f(x) = 1 / (1 - x^3)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma representação por meio de séries de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos utilizar a fórmula da série geométrica, que é essencial nesse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série geométrica. Ela é dada por:
Essa fórmula nos diz que a soma dos termos de até o infinito é igual a , desde que o valor absoluto de seja menor que 1. Isso é crucial para garantir que a série converge, ou seja, que a soma dos termos não cresce infinitamente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função . Observamos que essa função tem a mesma forma da série geométrica se considerarmos . Assim, podemos reescrever como uma série:
Aqui, expandimos para obter , que é a forma geral dos termos da nossa série de potências.

Passo 4

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então:
Isso significa que a série converge para todos os valores de cuja distância do zero seja menor que 1, ou seja, quando está no intervalo aberto entre -1 e 1.

Resposta

A representação por meio de séries de potências da função é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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