Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, temos as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Precisamos achar a solução geral da equação e, depois, ajustar os parâmetros usando as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar. Substituindo na equação, temos:
Dividindo tudo por
(que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Calculando:
Então, as raízes são complexas:
.
Passo 4
Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação é:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
Como
, obtemos:
Sabendo que
, temos:
Passo 6
Segunda condição:
Primeiro, vamos derivar a solução geral:
Derivando usando a regra do produto:
Factorando
:
Simplificando:
Agora, substituindo
e
:
Resolvendo para
:
Então,
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: