Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(f) y'' + 2y' + 2y = 0
y(pi/4) = 0, y' (pi/4) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, temos as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Precisamos achar a solução geral da equação e, depois, ajustar os parâmetros usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde r é uma constante que precisamos determinar. Substituindo na equação, temos:
Dividindo tudo por (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, a = 1, b = 2, e c = 2. Calculando:
Então, as raízes são complexas: .

Passo 4

Quando temos raízes complexas da forma , a solução geral da equação é:
No nosso caso, e , então:

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
Como , obtemos:
Sabendo que , temos:

Passo 6

Segunda condição:
Primeiro, vamos derivar a solução geral:
Derivando usando a regra do produto:
Factorando e^(-t):
Simplificando:
Agora, substituindo e :
Resolvendo para :
Então, .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados