Verifique se a equação dada é linear. Se for, resolva: (1 - x^3) dy/dx = 3 x^2 y

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial que é . O que precisamos fazer aqui é verificar se essa equação é linear e, se for, resolver ela. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se puder ser escrita na forma . Vamos rearranjar a equação dada:
Dividindo ambos os lados por :
Agora, comparando com a forma padrão, temos:
e
Como a equação pode ser escrita nessa forma, ela é linear.

Passo 3

Agora que sabemos que é uma equação linear, vamos resolver usando o método do fator integrante. A forma padrão é:
O fator integrante mu(x) é dado por:
Aqui,
Vamos calcular a integral:
Fazendo uma substituição simples, deixe , então , ou .
Então, a integral fica:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução da equação é , onde C é uma constante.

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