Achar uma representação por meio de séries de potências das seguintes funções e determine o intervalo de convergência.
f(x)=-2/(x^2-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma representação da função usando séries de potências e determinar o intervalo de convergência dessa série. Vamos precisar usar conceitos de séries geométricas e manipulação algébrica para transformar a função em uma forma que possamos expandir em série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se assemelhe à fórmula da série geométrica, que é para .
A função dada é:
Podemos fatorar o denominador:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos tentar expressar de uma forma que se encaixe na série geométrica. Podemos manipular a expressão para que ela tenha a forma .
Escrevemos:
Assim, podemos aplicar a fórmula da série geométrica:
Onde .
Substituindo na série:
Portanto, a função fica:
Simplificando:

Passo 4

Para determinar o intervalo de convergência, precisamos garantir que o valor absoluto de seja menor que 1:
Resolvendo a desigualdade:
Então, o intervalo de convergência é .

Resposta

A representação por meio de séries de potências da função é:
E o intervalo de convergência dessa série é:

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