Achar uma representação por meio de séries de potências das seguintes funções e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma representação da função usando séries de potências e determinar o intervalo de convergência dessa série. Vamos precisar usar conceitos de séries geométricas e manipulação algébrica para transformar a função em uma forma que possamos expandir em série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se assemelhe à fórmula da série geométrica, que é para .
A função dada é:
Podemos fatorar o denominador:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos tentar expressar de uma forma que se encaixe na série geométrica. Podemos manipular a expressão para que ela tenha a forma .
Escrevemos:
Assim, podemos aplicar a fórmula da série geométrica:
Onde .
Substituindo na série:
Portanto, a função fica:
Simplificando:
Passo 4
Para determinar o intervalo de convergência, precisamos garantir que o valor absoluto de seja menor que 1:
Resolvendo a desigualdade:
Então, o intervalo de convergência é .
Resposta
A representação por meio de séries de potências da função é: