Calcule as seguintes integrais: integral-1^1 integral-1^1 integral-1^1 x+y+z d y d x d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla: . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente das integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de várias variáveis e a ordem das integrações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da integral tripla. Temos que integrar a função sobre o cubo definido por , e . A ideia é realizar as integrações uma de cada vez, começando por , depois e finalmente .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral-1^1 (x + y + z) , dy = integral-1^1 x , dy + integral-1^1 y , dy + integral-1^1 z , dy . Aqui, e são tratados como constantes. A integral fica:

Passo 4

Agora, calculamos cada uma dessas integrais separadamente:

  1. Aqui, o é constante em relação a , então saímos o da integral e multiplicamos pela largura do intervalo de , que é 2.

  2. Essa é uma função ímpar integrada sobre um intervalo simétrico em torno de zero, então o resultado é zero.

  3. Similar ao , o é constante em relação a .

Passo 5

Agora, substituímos esses resultados na integral original:
integral-1^1 integral-1^1 integral-1^1 (x + y + z) , dy , dx , dz = integral-1^1 integral-1^1 (2x + 0 + 2z) , dx , dz = integral-1^1 integral-1^1 (2x + 2z) , dx , dz

Passo 6

Vamos agora integrar em relação a integral-1^1 (2x + 2z) , dx = 2 integral-1^1 x , dx + 2z integral-1^1 dx :
integral-1^1 (2x + 2z) , dx = 0 + 4z = 4z
Calculando cada parte:
Então, temos:

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a integral-1^1 4z , dz = 4 integral-1^1 z , dz = 4 [ z^22 ]-1^1 = 4 ( 12 - 12 ) = 0 :

Resposta

A integral tripla é igual a 0.

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