Verificar as seguintes igualdades:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Ela quer que a gente verifique se a soma infinita
é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar usar séries alternadas e propriedades dos logaritmos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos:
. Essa é uma série alternada porque os termos mudam de sinal a cada passo devido ao
. Além disso, temos uma fração onde o denominador cresce exponencialmente por
.
Passo 3
Sabemos que a série alternada pode ser relacionada ao desenvolvimento em série de funções logarítmicas. Vamos considerar a expansão de
, que é dada por:
Essa fórmula é válida para
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula com um valor específico de
. Observando a nossa série original, vemos que temos
no denominador, o que sugere que podemos escolher
. Substituindo na fórmula:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro do logaritmo:
Percebemos que a soma infinita que tínhamos inicialmente é exatamente igual a
Resposta
Portanto, a igualdade
está verificada.