Verificar as seguintes igualdades:
sumn=1^infty (-1)^n+1n 2^n=ln (32)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Ela quer que a gente verifique se a soma infinita sumn=1^infty (-1)^n+1n 2^n é igual a ln (32). Para resolver isso, vamos precisar usar séries alternadas e propriedades dos logaritmos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos: sumn=1^infty (-1)^n+1n 2^n. Essa é uma série alternada porque os termos mudam de sinal a cada passo devido ao (-1)^n+1. Além disso, temos uma fração onde o denominador cresce exponencialmente por 2^n.

Passo 3

Sabemos que a série alternada pode ser relacionada ao desenvolvimento em série de funções logarítmicas. Vamos considerar a expansão de ln(1 + x), que é dada por:
ln(1 + x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn
Essa fórmula é válida para -1 < x <= 1.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula com um valor específico de x. Observando a nossa série original, vemos que temos 2^n no denominador, o que sugere que podemos escolher x = 12. Substituindo na fórmula:
ln(1 + 12) = sumn=1^infty (-1)^n+1 (12)^nn

Passo 5

Simplificando a expressão dentro do logaritmo:
ln(32) = sumn=1^infty (-1)^n+1n 2^n
Percebemos que a soma infinita que tínhamos inicialmente é exatamente igual a ln(32).

Resposta

Portanto, a igualdade sumn=1^infty (-1)^n+1n 2^n = ln (32) está verificada.

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