Achar uma representação por meio de séries de potências das seguintes funções e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma série de potências que represente a função
e descobrir para quais valores de
essa série converge. Vamos usar conceitos de séries de Taylor e propriedades de séries de potências para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série de potências para a função
. A série de Taylor para
centrada em 0 é:
Aqui,
é qualquer valor dentro do intervalo de convergência
.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Vamos substituir
por
na série:
Isso simplifica para
.
Passo 4
Agora, queremos multiplicar essa série por
para obter
:
Então, a série de potências para
é:
Passo 5
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Já vimos que a série de
converge para
. Como multiplicamos por
, isso não altera o intervalo de convergência. Portanto, nosso intervalo inicial é
.
Passo 6
Vamos verificar os extremos do intervalo
e
.
- Para
:
Essa é uma série alternada onde os termos decrescem em magnitude e tendem a zero. Pelo teste da série alternada, ela converge.
- Para
:
Novamente, é uma série alternada que converge pelo mesmo motivo.
Resposta
A representação da função
em série de potências é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.