Achar uma representação por meio de séries de potências das seguintes funções e determine o intervalo de convergência.
f(x) = x * arctan(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma série de potências que represente a função e descobrir para quais valores de essa série converge. Vamos usar conceitos de séries de Taylor e propriedades de séries de potências para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de potências para a função . A série de Taylor para centrada em 0 é:
Aqui, é qualquer valor dentro do intervalo de convergência .

Passo 3

No nosso caso, temos . Vamos substituir por na série:
Isso simplifica para .

Passo 4

Agora, queremos multiplicar essa série por para obter :
Então, a série de potências para é:

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Já vimos que a série de converge para . Como multiplicamos por , isso não altera o intervalo de convergência. Portanto, nosso intervalo inicial é .

Passo 6

Vamos verificar os extremos do intervalo e .
  • Para :
Essa é uma série alternada onde os termos decrescem em magnitude e tendem a zero. Pelo teste da série alternada, ela converge.
  • Para :
Novamente, é uma série alternada que converge pelo mesmo motivo.

Resposta

A representação da função em série de potências é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados