Calcule as seguintes integrais: integral0^1 integral0^pi integral0^pi y sen z d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla: . Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente integração múltipla. Para resolver, vamos integrar passo a passo, começando pela variável , depois e finalmente .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^pi y sen z , dx = y sen z cdot (pi - 0) = pi y sen z . Observa que a função a ser integrada é , que não depende de . Então, a integral de em relação a de 0 a é simplesmente multiplicado pelo intervalo de :

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado anterior em relação a integral0^1 pi y sen z , dy = pi sen z cdot [ y^22 ]0^1 = pi sen z cdot ( 1^22 - 0 ) = pi2 sen z , de 0 a 1. A função a ser integrada é . A integral de em relação a é , então:

Passo 4

Finalmente, vamos integrar o resultado em relação a integral0^pi pi2 sen z , dz = pi2 cdot [ -cos z ]0^pi = pi2 cdot ( -cos pi + cos 0 ) , de 0 a pi2 cdot ( -(-1) + 1 ) = pi2 cdot (1 + 1) = pi2 cdot 2 = pi . A integral de em relação a é , então:
Sabemos que e , então:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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