Se a, b e c são números reais positivos, mostre que todas as soluções da EDO a y'' + b y' + c y = 0 tendem a zero quando t -> infinito
Dica: Analise os casos Delta > 0, Delta = 0 e Delta < 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que todas as soluções da equação diferencial , onde e são números reais positivos, tendem a zero quando vai para o infinito. Vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias (EDOs) de segunda ordem e analisar os diferentes casos do discriminante ( ) para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à EDO. Para uma equação diferencial linear de segunda ordem da forma , a equação característica é:
Essa equação ajuda a encontrar as soluções da EDO.

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante ( ) da equação quadrática . O discriminante é dado por:
Dependendo do valor de , teremos diferentes tipos de raízes, o que nos leva a diferentes formas de solução para a EDO.

Passo 4

Vamos analisar os três casos possíveis com base no valor de :
Caso 1:
Quando o discriminante é positivo, temos duas raízes reais e distintas:
Assim, a solução geral da EDO é:
Como e são positivos, ambos os e serão negativos. Isso significa que e tendem a zero quando vai para o infinito.
Caso 2:
Quando o discriminante é zero, temos duas raízes reais iguais:
A solução geral nesse caso é:
Novamente, é negativo, então tende a zero conforme vai para o infinito, e mesmo com o termo , a solução inteira ainda tende a zero.
Caso 3:
Quando o discriminante é negativo, temos duas raízes complexas conjugadas:
A solução geral é:
onde .
Aqui, o termo exponencial tende a zero quando vai para o infinito, e as funções trigonométricas oscilam, mas são multiplicadas pelo termo que decai para zero.

Resposta

Portanto, em todos os casos ( , e ), as soluções da EDO tendem a zero quando vai para o infinito.

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