Se
e
são números reais positivos, mostre que todas as soluções da EDO
tendem a zero quando
Dica: Analise os casos
e
.
Dica: Analise os casos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que todas as soluções da equação diferencial
, onde
e
são números reais positivos, tendem a zero quando
vai para o infinito. Vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias (EDOs) de segunda ordem e analisar os diferentes casos do discriminante (
) para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à EDO. Para uma equação diferencial linear de segunda ordem da forma
, a equação característica é:
Essa equação ajuda a encontrar as soluções da EDO.
Passo 3
Agora, vamos calcular o discriminante (
) da equação quadrática
. O discriminante é dado por:
Dependendo do valor de
, teremos diferentes tipos de raízes, o que nos leva a diferentes formas de solução para a EDO.
Passo 4
Vamos analisar os três casos possíveis com base no valor de
:
Caso 1:
Quando o discriminante é positivo, temos duas raízes reais e distintas:
Assim, a solução geral da EDO é:
Como
e
são positivos, ambos os
e
serão negativos. Isso significa que
e
tendem a zero quando
vai para o infinito.
Caso 2:
Quando o discriminante é zero, temos duas raízes reais iguais:
A solução geral nesse caso é:
Novamente,
é negativo, então
tende a zero conforme
vai para o infinito, e mesmo com o termo
, a solução inteira ainda tende a zero.
Caso 3:
Quando o discriminante é negativo, temos duas raízes complexas conjugadas:
A solução geral é:
onde
.
Aqui, o termo exponencial
tende a zero quando
vai para o infinito, e as funções trigonométricas oscilam, mas são multiplicadas pelo termo que decai para zero.
Resposta
Portanto, em todos os casos (
,
e
), as soluções da EDO
tendem a zero quando
vai para o infinito.