Determine o raio de convergência e todos os valores de x para os quais as seguintes séries de potência convergem.
) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(x-2)^{2 n}}{2 n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em x_{0}=2
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(x-2)^{2n}}{2n}
e pede o raio de convergência e todos os valores de x em que ela converge. O conteúdo aqui é análise de convergência de séries de potências, usando teste da raiz (ou da razão) e exame das extremidades do intervalo.

Passo 2

Reescrevemos a série em termos de
u=(x-2)^{2},
ficando
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n}\,u^{n}.
Pelo teste da raiz, calculamos
\lim_{n\to\infty}\Bigl|\tfrac{(-1)^{n-1}}{2n}\,u^{n}\Bigr|^{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{|u|}{(2n)^{1/n}} =|u|\cdot1 =|u|.
Para convergência estrita precisamos de |u|<1, ou seja
|(x-2)^{2}|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-2|<1.

Passo 3

O raio de convergência em termos de x é R=1.

Passo 4

Falta testar os pontos de fronteira |x-2|=1, isto é x=1 e x=3. Nesse caso (x-2)^{2}=1 e a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n},
que é uma série alternante cujos termos em módulo 1/(2n) decrescem para zero. Pelo teste de Leibniz ela converge (condicionalmente).

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Conjunto de convergência:
\{\,x\in\mathbb{R}:|x-2|<1\}\cup\{1,3\} =[1,3].

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