Achar uma representação em série de Taylor da função f(x)=ln(2 x+1) em torno de a=1.
Fórmula: f(x)=sumn=0^infty f^n(a)x!(x-a)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a série de Taylor da função f(x) = ln(2x + 1) em torno de a = 1 . A série de Taylor é uma maneira de aproximar funções usando uma soma infinita de termos polinomiais. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função no ponto a = 1 e usar a fórmula da série de Taylor:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(a)n! (x - a)^n

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função em a = 1 . Substituindo x = 1 em f(x) :
f(1) = ln(2 cdot 1 + 1) = ln(3)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a primeira derivada de f(x) . Lembrando que a derivada de ln(u) é u'u , onde u = 2x + 1 :
f'(x) = ddx ln(2x + 1) = 22x + 1
Substituindo x = 1 :
f'(1) = 22 cdot 1 + 1 = 23

Passo 4

Vamos para a segunda derivada. Derivando f'(x) :
f''(x) = ddx ( 22x + 1 ) = -4(2x + 1)^2
Substituindo x = 1 :
f''(1) = -4(2 cdot 1 + 1)^2 = -49

Passo 5

Continuamos com a terceira derivada:
f'''(x) = ddx ( -4(2x + 1)^2 ) = 16(2x + 1)^3
Substituindo x = 1 :
f'''(1) = 16(2 cdot 1 + 1)^3 = 1627

Passo 6

Observando um padrão nas derivadas, percebemos que:
f^(n)(x) = (-1)^n-1 cdot 2^n cdot n!(2x + 1)^n
Então, avaliando em x = 1 :
f^(n)(1) = (-1)^n-1 cdot 2^n cdot n!3^n

Resposta

Substituindo os valores encontrados na fórmula da série de Taylor, temos:
f(x) = ln(3) + 23(x - 1) - 49(x - 1)^2 + 1627(x - 1)^3 - cdots
Ou de forma geral:
f(x) = sumn=0^infty (-1)^n-1 cdot 2^n3^n (x - 1)^n

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