Achar uma representação em série de Taylor da função
em torno de
.
Fórmula:
Fórmula:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a série de Taylor da função
em torno de
. A série de Taylor é uma maneira de aproximar funções usando uma soma infinita de termos polinomiais. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função no ponto
e usar a fórmula da série de Taylor:
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função em
. Substituindo
em
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a primeira derivada de
. Lembrando que a derivada de
é
, onde
:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos para a segunda derivada. Derivando
:
Substituindo
:
Passo 5
Continuamos com a terceira derivada:
Substituindo
:
Passo 6
Observando um padrão nas derivadas, percebemos que:
Então, avaliando em
:
Resposta
Substituindo os valores encontrados na fórmula da série de Taylor, temos:
Ou de forma geral: