Ache o ponto equidistante de (-9,0),(6,3) e (-5,6)

Passo 1

O enunciado pede o ponto que está à mesma distância de A(-9,0), B(6,3) e C(-5,6). Geometricamente esse ponto é o circuncentro de triang<= ABC, isto é, o centro da circunferência que passa por A, B e C. Para encontrá-lo, basta traçar duas mediatrizes (bissetoras perpendiculares) de lados do triângulo e achar sua interseção.

Passo 2

Vamos construir a mediatriz de AB.
O ponto médio de AB é
l(-9+62,,0+32r) =l(-tfrac32,,tfrac32r)
O coeficiente angular de AB é
mAB=3-06-(-9)=315=15,
logo o coeficiente da mediatriz é m1=-5. A equação ponto-inclinação fica
y-32=-5l(x+32r),
que simplifica para
y=-5x-6

Passo 3

Agora a mediatriz de BC.
O ponto médio de BC é
l(6+(-5)2,,3+62r) =l(tfrac12,,tfrac92r)
O coeficiente angular de BC é
mBC=6-3-5-6=-311,
portanto o coeficiente da mediatriz é m2=tfrac113. A equação é
y-92=113l(x-12r),
que leva a
y=113,x+83

Passo 4

Para achar a interseção, igualamos as duas retas:
-5x-6=113x+83
Multiplicando por 3 e rearranjando:
-15x-18=11x+8 Longrightarrow -26x=26 Longrightarrow x=-1
Substituindo em y=-5x-6
y=-5(-1)-6=-1
Verificamos que a distância de (-1,-1) a A, B e C é sempre raiz65, confirmando que é o ponto equidistante.

Resposta

(-1,-1)

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