Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y)=sec (x y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
f(x,y)=sec(xy)
O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada à derivada da função secante, cuja derivada é ddusec(u)=sec(u)tan(u).

Passo 2

Para as derivadas parciais de primeira ordem, definimos u=xy e usamos
partial upartial x=y, partial upartial y=x,
além de ddusec(u)=sec(u)tan(u). Logo,
partial fpartial x =partialpartial xsec(u) =sec(u)tan(u),partial upartial x =y,sec(xy)tan(xy),
partial fpartial y =partialpartial ysec(u) =sec(u)tan(u),partial upartial y =x,sec(xy)tan(xy)

Passo 3

Para partial^2 fpartial x^2 derivamos
fx=y,sec(u)tan(u) em relação a x. Usamos
ddul[sec(u)tan(u)r] =sec(u)l(2tan^2(u)+1r), partial upartial x=y
Assim,
partial^2 fpartial x^2 =y;ddu[sec(u)tan(u)];partial upartial x =ycdotsec(u)l(2tan^2(u)+1r)cdot y =y^2,sec(xy)l(2tan^2(xy)+1r)

Passo 4

Para partial^2 fpartial ypartial x derivamos
fx=y,sec(u)tan(u) em relação a y. Usamos
partialpartial y(y)=1, partial upartial y=x,
e o mesmo ddu[sec(u)tan(u)]. Portanto,
partial^2 fpartial ypartial x =sec(u)tan(u) + y;ddu[sec(u)tan(u)];partial upartial y =sec(xy)tan(xy) + x,y,sec(xy)l(2tan^2(xy)+1r)

Passo 5

Para partial^2 fpartial y^2 derivamos
fy=x,sec(u)tan(u) em relação a y. Analogamente ao caso partial^2f/partial x^2, obtemos
partial^2 fpartial y^2 =x^2,sec(xy)l(2tan^2(xy)+1r)

Resposta

fx = y,sec(xy)tan(xy)
fy = x,sec(xy)tan(xy)
fxx = y^2,sec(xy)l(2tan^2(xy)+1r)
fxy = sec(xy)tan(xy)+xy,sec(xy)l(2tan^2(xy)+1r)
fyx=fxy
fyy = x^2,sec(xy)l(2tan^2(xy)+1r)

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