Mostre, de duas formas distintas, que os pontos A=(-2,1), B=(2,2) e C=(10,4) pertencem a uma mesma reta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, de duas maneiras diferentes, que os pontos A=(-2,1), B=(2,2) e C=(10,4) são colineares, isto é, pertencem à mesma reta. O conteúdo usado será geometria analítica em coordenadas cartesianas, explorando inclinações de segmentos de reta e dependência linear de vetores.

Passo 2

Método 1: verificar que as inclinações dos segmentos AB e BC são iguais. A inclinação (coeficiente angular) de um segmento que une (x1,y1) a (x2,y2) é
m = y2 - y1x2 - x1
Para AB:
mAB = 2 - 12 - (-2) = 14
Para BC:
mBC = 4 - 210 - 2 = 28 = 14
Como mAB=mBC, os três pontos estão sobre uma mesma reta.

Passo 3

Método 2: usar vetores e mostrar dependência linear. Definimos
AB = (2-(-2),,2-1) = (4,1), AC = (10-(-2),,4-1) = (12,3)
Note que
AC = 3,(4,1) = 3,AB,
ou seja, AB e AC são proporcionais. Vetores proporcionais indicam pontos colineares.

Resposta

Os pontos A, B e C pertencem à mesma reta, pois no método 1 as inclinações coincidem ( tfrac14) e no método 2 os vetores AB e AC são proporcionais ( AC=3,AB).

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