Achar e representar graficamente o domínio da função f=f(x, y) dada pela regra:
f(x, y)=\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}-9\right)\left(18-x^{2}-y^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}-9\right)\left(18-x^{2}-y^{2}\right)}
e pede duas coisas: (1) achar o domínio de definição de f (ou seja, todos os pares (x,y) para os quais f(x,y) é um número real) e (2) representar esse domínio graficamente no plano xy. As informações relevantes fornecidas são exatamente a expressão sob a raiz quadrada e que trabalhamos no conjunto dos números reais.

Passo 2

Conceito importante que usamos: a raiz quadrada de um número real está definida (no conjunto dos reais) somente quando o radicando é maior ou igual a zero. Ou seja, precisamos que
\left(x^{2}+y^{2}-9\right)\left(18-x^{2}-y^{2}\right)\ge 0.
Outra ferramenta prática aqui é observar que a expressão depende apenas de x^{2}+y^{2}. Então é conveniente introduzir a variável radial
s:=x^{2}+y^{2},
que satisfaz s\ge 0. Isso usa a simetria circular da função e simplifica o problema para uma desigualdade em s.

Passo 3

Em função de s a condição do radicando fica
(s-9)(18-s)\ge 0.
Agora vamos resolver essa desigualdade em s. Primeiro identificamos as raízes do produto: s=9 e s=18. Essas são as fronteiras onde o produto é zero.

Passo 4

Para decidir os sinais do produto usamos um quadro de sinais (ou analisamos intervalos). Os intervalos para s são: s<9, 9<s<18 e s>18.
  • Se s<9, então s-9<0 e 18-s>0, logo (s-9)(18-s)<0.
  • Se 9<s<18, então s-9>0 e 18-s>0, logo (s-9)(18-s)>0.
  • Se s>18, então s-9>0 e 18-s<0, logo (s-9)(18-s)<0.
    Além disso, nas fronteiras s=9 ou s=18 o produto vale zero, que é permitido pela desigualdade \ge 0. Portanto a solução em s é
9\le s\le 18.

Passo 5

Voltando a x e y pela substituição s=x^{2}+y^{2}, o domínio fica
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 9\le x^{2}+y^{2}\le 18\}.
Geometricamente, isso é um anel (uma coroa circular) centrado na origem: a região entre o círculo de raio 3 (pois \sqrt{9}=3) e o círculo de raio 3\sqrt{2} (pois \sqrt{18}=3\sqrt{2}), incluindo as duas circunferências. Em coordenadas polares (r,\theta) a descrição é simples:
3\le r\le 3\sqrt{2},\quad 0\le \theta<2\pi.
Para checar rápido: no centro (0,0) temos s=0 e o radicando é negativo (não pertence ao domínio); o ponto (4,0) tem s=16 e pertence ao domínio; o ponto (5,0) tem s=25 e não pertence.

Passo 6

Como representação gráfica, desenhe no plano xy dois círculos centrados na origem: um de raio 3 e outro de raio 3\sqrt{2}. Pinte (ou sombreie) a região entre eles e inclua as fronteiras (as duas circunferências). Essa é a região do domínio pedida.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 9\le x^{2}+y^{2}\le 18\}

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