Achar e representar graficamente o domínio da função
dada pela regra:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) achar o domínio de definição de
(ou seja, todos os pares
para os quais
é um número real) e (2) representar esse domínio graficamente no plano
. As informações relevantes fornecidas são exatamente a expressão sob a raiz quadrada e que trabalhamos no conjunto dos números reais.
Passo 2
Conceito importante que usamos: a raiz quadrada de um número real está definida (no conjunto dos reais) somente quando o radicando é maior ou igual a zero. Ou seja, precisamos que
Outra ferramenta prática aqui é observar que a expressão depende apenas de
. Então é conveniente introduzir a variável radial
que satisfaz
. Isso usa a simetria circular da função e simplifica o problema para uma desigualdade em
.
Passo 3
Em função de
a condição do radicando fica
Agora vamos resolver essa desigualdade em
. Primeiro identificamos as raízes do produto:
e
. Essas são as fronteiras onde o produto é zero.
Passo 4
Para decidir os sinais do produto usamos um quadro de sinais (ou analisamos intervalos). Os intervalos para
são:
,
e
.
- Se
, então e , logo . - Se
, então e , logo . - Se
, então e , logo .
Além disso, nas fronteirasou o produto vale zero, que é permitido pela desigualdade . Portanto a solução em é
Passo 5
Voltando a
e
pela substituição
, o domínio fica
Geometricamente, isso é um anel (uma coroa circular) centrado na origem: a região entre o círculo de raio
(pois
) e o círculo de raio
(pois
), incluindo as duas circunferências. Em coordenadas polares
a descrição é simples:
Para checar rápido: no centro
temos
e o radicando é negativo (não pertence ao domínio); o ponto
tem
e pertence ao domínio; o ponto
tem
e não pertence.
Passo 6
Como representação gráfica, desenhe no plano
dois círculos centrados na origem: um de raio
e outro de raio
. Pinte (ou sombreie) a região entre eles e inclua as fronteiras (as duas circunferências). Essa é a região do domínio pedida.