Achar o resíduo de e^{z t} tan z no pólo simples z=\frac{3 \pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede o resíduo da função
f(z)=e^{z t}\tan z
no polo simples z_0=\tfrac{3\pi}{2}.
O conteúdo é Análise Complexa: cálculo de resíduo em polo simples usando a representação
\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}
e a fórmula
\Res(f,z_0)=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}
quando f(z)=\frac{g(z)}{h(z)} e h(z_0)=0, h'(z_0)\neq0.

Passo 2

Escrevemos
f(z)=\frac{e^{z t}\,\sin z}{\cos z}
e identificamos h(z)=\cos z. Em z_0=\tfrac{3\pi}{2} temos \cos z_0=0 e \sin z_0=-1, logo é de fato um polo simples de f.

Passo 3

Calculamos a derivada
h'(z)=-\sin z,
de modo que em z_0
h'(z_0)=-\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-(-1)=1.

Passo 4

Aplicando a fórmula do resíduo para polo simples,
g(z)=e^{z t}\sin z,
temos
g(z_0)=e^{\,z_0 t}\sin(z_0)=e^{\,\tfrac{3\pi}{2}t}\cdot(-1)=-e^{\tfrac{3\pi}{2}t}.
Portanto
\Res\bigl(f,z_0\bigr)=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}=\frac{-e^{\tfrac{3\pi}{2}t}}{1}=-e^{\tfrac{3\pi}{2}t}.

Resposta

O resíduo de e^{z t}\tan z em z=\tfrac{3\pi}{2} é
-e^{\tfrac{3\pi}{2}t}.

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