Calcule \oint_{c} \frac{e{z}+z}{(z-1){4}} dz onde C é uma curva fechada simples |z|=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{C}\frac{e^{z}+z}{(z-1)^{4}}\,dz
onde C é a circunferência |z|=2.
O conteúdo principal aqui é o Teorema dos Resíduos para polos de ordem superior.

Passo 2

Identificamos que a única singularidade de \frac{e^{z}+z}{(z-1)^{4}} dentro de |z|=2 é z=1, que é um polo de ordem 4. Pelo Teorema dos Resíduos,
\oint_{C}f(z)\,dz = 2\pi i \,\mathrm{Res}(f;1).

Passo 3

Para um polo de ordem m=4 em z_{0}=1, a fórmula do resíduo é
\mathrm{Res}(f;1) =\frac{1}{(4-1)!}\left.\frac{d^{3}}{dz^{3}}\Bigl[(z-1)^{4}f(z)\Bigr]\right|_{z=1}.
Aqui (z-1)^{4}f(z)=e^{z}+z.

Passo 4

Calculamos a derivada de terceira ordem de e^{z}+z:
primeira derivada: \frac{d}{dz}(e^{z}+z)=e^{z}+1,
segunda derivada: \frac{d^{2}}{dz^{2}}(e^{z}+z)=e^{z},
terceira derivada: \frac{d^{3}}{dz^{3}}(e^{z}+z)=e^{z}.

Passo 5

Avaliando em z=1 obtemos
\left.\frac{d^{3}}{dz^{3}}(e^{z}+z)\right|_{z=1} =e^{1}=e.
Logo
\mathrm{Res}(f;1) =\frac{1}{3!}\,e =\frac{e}{6}.

Passo 6

Finalmente, pelo Teorema dos Resíduos,
\oint_{C}\frac{e^{z}+z}{(z-1)^{4}}\,dz =2\pi i\cdot\frac{e}{6} =\frac{\pi i\,e}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi i\,e}{3}

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