Calcule \oint_{c} \frac{e{z}+z}{(z-1){4}} dz onde C é uma curva fechada simples |z|=2.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a circunferência
.
O conteúdo principal aqui é o Teorema dos Resíduos para polos de ordem superior.
O conteúdo principal aqui é o Teorema dos Resíduos para polos de ordem superior.
Passo 2
Identificamos que a única singularidade de
dentro de
é
, que é um polo de ordem
. Pelo Teorema dos Resíduos,
Passo 3
Para um polo de ordem
em
, a fórmula do resíduo é
Aqui
.
Passo 4
Calculamos a derivada de terceira ordem de
:
primeira derivada: ,
segunda derivada: ,
terceira derivada: .
primeira derivada:
segunda derivada:
terceira derivada:
Passo 5
Avaliando em
obtemos
Logo
Passo 6
Finalmente, pelo Teorema dos Resíduos,