Determinar os pólos e os respectivos resíduos de cada função.
\tan z

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pólos de \tan z e calcular o resíduo em cada pólo. Vamos usar que
\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}
e que, para uma função f(z)=g(z)/h(z) com pólo simples em z_0 (i.e.\ h(z_0)=0, h'(z_0)\neq0), vale
\Res\bigl(f,z_0\bigr) =\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}.

Passo 2

Identificamos os pólos de \tan z pelas zeros de \cos z. Sabemos que
\cos z=0\quad\Longrightarrow\quad z=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Cada um desses é um pólo simples porque \sin(z) e \cos(z) têm derivadas não nulas aí.

Passo 3

Para z_k=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, definimos
g(z)=\sin z,\quad h(z)=\cos z
e calculamos
h'(z)=-\sin z.
Logo, em z_k temos \sin(z_k)=(-1)^k e
h'(z_k)=-\sin(z_k)=-(-1)^k=(-1)^{k+1}\neq0,
confirmando pólos simples.

Passo 4

Aplicando a fórmula do resíduo para pólo simples,
\Res\bigl(\tan z,z_k\bigr) =\frac{g(z_k)}{h'(z_k)} =\frac{\sin(z_k)}{-\sin(z_k)} =-1.

Resposta

Os pólos de \tan z são
z_k=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
e o resíduo em cada um deles é
\Res\bigl(\tan z,z_k\bigr)=-1.

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