Determinar os pólos e os respectivos resíduos de cada função.
\frac{z^{2}}{(z-2)\left(z^{2}+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede para determinar os polos e seus resíduos da função
f(z) = \frac{z^{2}}{(z-2)\,(z^{2}+1)}.
O conteúdo aqui é cálculo de resíduos em polos simples de uma função racional.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador para identificar os polos. Temos
z^{2}+1 = (z - i)\,(z + i),
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f(z) = \frac{z^{2}}{(z-2)\,(z - i)\,(z + i)}.
Os polos simples são, portanto,
z = 2,\quad z = i,\quad z = -\,i.

Passo 3

Para um polo simples a, o resíduo é
\Res(f,a) = \lim_{z \to a} (z - a)\,f(z).
No caso a = 2,
\Res\bigl(f,2\bigr) = \lim_{z\to2}(z-2)\,\frac{z^{2}}{(z-2)(z^{2}+1)} = \frac{2^{2}}{2^{2}+1} = \frac{4}{5}.

Passo 4

Em a = i:
\Res\bigl(f,i\bigr) = \lim_{z\to i}(z - i)\,\frac{z^{2}}{(z-2)(z - i)(z + i)} = \frac{i^{2}}{(i-2)\,(i + i)} = \frac{-1}{(i-2)\,2i} = \frac{-1}{2i(i-2)}.
Agora simplificamos o denominador:
2i(i-2) = 2i^{2} - 4i = -2 - 4i,
então
\Res\bigl(f,i\bigr) = \frac{-1}{-2 -4i} = \frac{1}{2 +4i} = \frac{1}{2+4i}\,\frac{2-4i}{2-4i} = \frac{2-4i}{20} = \frac{1-2i}{10}.

Passo 5

Em a = -\,i:
\Res\bigl(f,-i\bigr) = \lim_{z\to -i}(z + i)\,\frac{z^{2}}{(z-2)(z - i)(z + i)} = \frac{(-i)^{2}}{(-i-2)\,(-i - i)} = \frac{-1}{(-i-2)\,(-2i)}.
Note que -i-2 = -(i+2) e -2i traz o sinal:
(-i-2)(-2i) = (i+2)\,2i = 2i(i+2) = -2 +4i,
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\Res\bigl(f,-i\bigr) = \frac{-1}{-2 +4i} = \frac{1}{2 -4i} = \frac{1}{2-4i}\,\frac{2+4i}{2+4i} = \frac{2+4i}{20} = \frac{1+2i}{10}.

Resposta

Os polos e resíduos de f(z) são:
z = 2, \Res(f,2) = \tfrac{4}{5}
z = i, \Res(f,i) = \tfrac{1-2i}{10}
z = -\,i, \Res(f,-i) = \tfrac{1+2i}{10}

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