Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas estão representadas pelas correspondentes séries.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a série de potências em torno do ponto
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - O ponto central da série é
. - Precisamos também fornecer o intervalo (ou raio) onde a série representa a função.
Passo 2
Vamos entender o que significa "série de potências em torno de
". Uma série de potências centrada em
tem a forma
ou seja, queremos escrever
como uma soma de potências de
(porque
). Não vamos usar fórmulas complicadas: uma ferramenta muito simples e poderosa é a série geométrica
Vou explicar passo a passo como encaixar
nessa forma.
Passo 3
Reescrevemos
em termos de
:
Portanto
Fatorando
do denominador:
Aqui estou só fazendo álgebra básica: tirei o fator
para obter uma expressão na forma
com
.
Passo 4
Agora aplicamos a série geométrica com
. A fórmula é
válida quando
. Substituindo
e lembrando do sinal negativo temos
válido sempre que
. Vou explicar por que essa condição aparece.
Passo 5
Interpretação da condição de convergência: a série geométrica
converge apenas quando
. Como usamos
, a condição fica
. Essa desigualdade define um intervalo em
:
Portanto a série representa a função apenas para
no intervalo
.
Passo 6
É útil escrever os primeiros termos explicitamente para ficar claro como a série se parece:
Ou seja,
Passo 7
Verificação rápida e observação sobre extremos:
- Em
a função original não está definida, então não podemos incluir . - Em
a série vira , que não converge (os somatórios parciais oscilam entre e ). Logo os extremos e não pertencem ao intervalo de representação. Assim o intervalo de convergência é mesmo o aberto .
Resposta
Intervalo de representação: