Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas estão representadas pelas correspondentes séries.
f(x)=\frac{1}{x}, a=-1

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\frac{1}{x} e pede a série de potências em torno do ponto a=-1.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • O ponto central da série é a=-1.
  • Precisamos também fornecer o intervalo (ou raio) onde a série representa a função.

Passo 2

Vamos entender o que significa "série de potências em torno de a=-1". Uma série de potências centrada em a tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} c_n\,(x-a)^n,
ou seja, queremos escrever \dfrac{1}{x} como uma soma de potências de (x+1) (porque x-a=x-(-1)=x+1). Não vamos usar fórmulas complicadas: uma ferramenta muito simples e poderosa é a série geométrica
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty} u^n\qquad\text{para }|u|<1.
Vou explicar passo a passo como encaixar \dfrac{1}{x} nessa forma.

Passo 3

Reescrevemos x em termos de (x+1):
x = -1 + (x+1).
Portanto
\frac{1}{x}=\frac{1}{-1+(x+1)}.
Fatorando -1 do denominador:
\frac{1}{x}=\frac{1}{-1\big(1-(x+1)\big)} = -\frac{1}{1-(x+1)}.
Aqui estou só fazendo álgebra básica: tirei o fator -1 para obter uma expressão na forma \dfrac{1}{1-u} com u=x+1.

Passo 4

Agora aplicamos a série geométrica com u=x+1. A fórmula é \dfrac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^\infty u^n válida quando |u|<1. Substituindo u=x+1 e lembrando do sinal negativo temos
\frac{1}{x} = -\sum_{n=0}^{\infty} (x+1)^n,
válido sempre que |x+1|<1. Vou explicar por que essa condição aparece.

Passo 5

Interpretação da condição de convergência: a série geométrica \sum_{n=0}^\infty u^n converge apenas quando |u|<1. Como usamos u=x+1, a condição fica |x+1|<1. Essa desigualdade define um intervalo em x:
|x+1|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad -1<x+1<1 \quad\Longleftrightarrow\quad -2<x<0.
Portanto a série representa a função apenas para x no intervalo (-2,0).

Passo 6

É útil escrever os primeiros termos explicitamente para ficar claro como a série se parece:
\frac{1}{x} = -\big(1 + (x+1) + (x+1)^2 + (x+1)^3 + \cdots\big).
Ou seja,
\frac{1}{x} = -1 - (x+1) - (x+1)^2 - (x+1)^3 - \cdots.

Passo 7

Verificação rápida e observação sobre extremos:
  • Em x=0 a função original \dfrac{1}{x} não está definida, então não podemos incluir x=0.
  • Em x=-2 a série vira -\sum_{n=0}^\infty (-1)^n, que não converge (os somatórios parciais oscilam entre 0 e -1). Logo os extremos -2 e 0 não pertencem ao intervalo de representação. Assim o intervalo de convergência é mesmo o aberto (-2,0).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{x} = -\sum_{n=0}^{\infty} (x+1)^n = -1-(x+1)-(x+1)^2-(x+1)^3-\cdots
Intervalo de representação: -2<x<0

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