Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas estão representadas pelas correspondentes séries. f(x)=\operatorname{sen}(x), a=\frac{\pi}{6}
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a série de potências de f(x)=\operatorname{sen}(x) centrada em a=\dfrac{\pi}{6} e que indique o intervalo (ou raio) onde essa série representa a função.
Informações dadas: f(x)=\operatorname{sen}(x) e a=\dfrac{\pi}{6}.
Perguntas claras: (1) escrever a série de potências em torno de a=\dfrac{\pi}{6}; (2) determinar o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.
Passo 2
Vou lembrar a fórmula de Taylor (a base para série de potências centrada em a). Para uma função f suficientemente suave, a expansão de Taylor em torno de a é
Aqui f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a, e n! é o fatorial de n. Cada termo \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n é o coeficiente da potência (x-a)^n. Para obter a série pedida basta calcular as derivadas de \operatorname{sen}(x) em a e substituir nessa fórmula.
Passo 3
Calcular as derivadas de \operatorname{sen}(x) e observar o padrão periódico:
Isso deriva diretamente do fato de que as derivadas são \operatorname{sen},\operatorname{cos},-\operatorname{sen},-\operatorname{cos},\dots e dos valores numéricos em a.]
Passo 5
Agora substituo esses valores na fórmula de Taylor. Uma forma organizada é separar os termos de ordem par e ímpar. Para n=2m (ordens pares) e n=2m+1 (ordens ímpares) obtemos padrões mais simples:
Essa expressão dá explicitamente os coeficientes e os potências em (x-\tfrac{\pi}{6}).]
Passo 6
Agora determinar o intervalo de convergência. Observação útil: todas as derivadas de \operatorname{sen} e \operatorname{cos} têm módulo no máximo 1. Assim, os coeficientes da série de Taylor são \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} com \left|f^{(n)}(a)\right|\le 1, então
Como o limite da razão é 0<1 para todo x, a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Além disso \operatorname{sen}(x) é uma função inteira (analítica em todo \mathbb{R}), logo a série de Taylor representa \operatorname{sen}(x) em todo o eixo real. Conclusão: o raio de convergência é infinito e o intervalo de representação é (-\infty,\infty).