Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas estão representadas pelas correspondentes séries.
f(x)=\operatorname{sen}(x), a=\frac{\pi}{6}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a série de potências de f(x)=\operatorname{sen}(x) centrada em a=\dfrac{\pi}{6} e que indique o intervalo (ou raio) onde essa série representa a função.
Informações dadas: f(x)=\operatorname{sen}(x) e a=\dfrac{\pi}{6}.
Perguntas claras: (1) escrever a série de potências em torno de a=\dfrac{\pi}{6}; (2) determinar o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula de Taylor (a base para série de potências centrada em a). Para uma função f suficientemente suave, a expansão de Taylor em torno de a é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}.
Aqui f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a, e n! é o fatorial de n. Cada termo \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n é o coeficiente da potência (x-a)^n. Para obter a série pedida basta calcular as derivadas de \operatorname{sen}(x) em a e substituir nessa fórmula.

Passo 3

Calcular as derivadas de \operatorname{sen}(x) e observar o padrão periódico:
\begin{aligned} f(x)&=\operatorname{sen}(x),\\\ f'(x)&=\operatorname{cos}(x),\\\ f''(x)&=-\operatorname{sen}(x),\\\ f^{(3)}(x)&=-\operatorname{cos}(x),\\\ f^{(4)}(x)&=\operatorname{sen}(x), \end{aligned}
portanto as derivadas repetem a cada 4 ordens. Agora avalio em a=\dfrac{\pi}{6}. Sei que
\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}, \qquad \operatorname{cos}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Usando o ciclo de period 4 das derivadas, para todo k\in\mathbb{N} e residuo r\in\{0,1,2,3\} tal que n=4k+r, tenho
\begin{aligned} f^{(4k)}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)&=\dfrac{1}{2},\\[4pt] f^{(4k+1)}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)&=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\\[4pt] f^{(4k+2)}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)&=-\dfrac{1}{2},\\[4pt] f^{(4k+3)}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)&=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}
Isso deriva diretamente do fato de que as derivadas são \operatorname{sen},\operatorname{cos},-\operatorname{sen},-\operatorname{cos},\dots e dos valores numéricos em a.]

Passo 5

Agora substituo esses valores na fórmula de Taylor. Uma forma organizada é separar os termos de ordem par e ímpar. Para n=2m (ordens pares) e n=2m+1 (ordens ímpares) obtemos padrões mais simples:
\begin{aligned} f^{(2m)}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)&=\dfrac{1}{2}(-1)^{m},\\[4pt] f^{(2m+1)}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}(-1)^{m}. \end{aligned}
Portanto, a série de Taylor fica (substituindo em \sum_{n\ge0} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n e reindexando por m):
\operatorname{sen}(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\dfrac{1}{2}(-1)^{m}}{(2m)!}(x-a)^{2m} +\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}(-1)^{m}}{(2m+1)!}(x-a)^{2m+1},
onde a=\dfrac{\pi}{6}. Posso escrever isso de forma compacta:
\operatorname{sen}(x)=\frac{1}{2}\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{(x-\frac{\pi}{6})^{2m}}{(2m)!} +\frac{\sqrt{3}}{2}\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{(x-\frac{\pi}{6})^{2m+1}}{(2m+1)!}.
Essa expressão dá explicitamente os coeficientes e os potências em (x-\tfrac{\pi}{6}).]

Passo 6

Agora determinar o intervalo de convergência. Observação útil: todas as derivadas de \operatorname{sen} e \operatorname{cos} têm módulo no máximo 1. Assim, os coeficientes da série de Taylor são
\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} com \left|f^{(n)}(a)\right|\le 1, então
\left|\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\right|\le\frac{1}{n!}.
Aplicando o teste da razão (ou simplesmente lembrando que séries com termos 1/n! têm raio de convergência infinito), para qualquer x fixo:
\frac{\left|\dfrac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\right|} {\left|\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}\right|} \le\frac{|x-a|}{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
Como o limite da razão é 0<1 para todo x, a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Além disso \operatorname{sen}(x) é uma função inteira (analítica em todo \mathbb{R}), logo a série de Taylor representa \operatorname{sen}(x) em todo o eixo real. Conclusão: o raio de convergência é infinito e o intervalo de representação é (-\infty,\infty).

Resposta

\operatorname{sen}(x)=\frac{1}{2}\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)^{2m}}{(2m)!} +\frac{\sqrt{3}}{2}\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)^{2m+1}}{(2m+1)!}
Intervalo de representação: (-\infty,\infty)

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