Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas estão representadas pelas correspondentes séries.
f(x)=\sqrt{x}, a=9

Passo 1

O enunciado pede: desenvolver a função f(x)=\sqrt{x} em série de potências centrada em a=9 e informar o intervalo onde essa série representa a função.
Informações dadas: f(x)=\sqrt{x} e o ponto de expansão é a=9.
Objetivo explícito: obter a série de potências em torno de a=9 (ou seja, em potências de x-9) e o intervalo de validade dessa expansão.

Passo 2

Ideia prática para começar (sem resolver ainda): escrever x como 9 mais um pequeno desvio, isto é x=9+(x-9), e fatorar a raiz quadrada para ficar numa forma \text{const}\cdot(1+u)^{\alpha} onde podemos usar a série binomial generalizada. Defino a variável auxiliar
u=\frac{x-9}{9}.
Assim
\sqrt{x}=\sqrt{9+(x-9)}=3\sqrt{1+u}=3(1+u)^{1/2}.
Agora o problema passa a expandir (1+u)^{1/2} em série de potências em u e depois substituir u=(x-9)/9.

Passo 3

Apresentando a ferramenta que vamos usar (com explicação didática): a série binomial generalizada diz que, para \alpha\in\mathbb{R},
(1+u)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}u^{n},
onde o coeficiente binomial generalizado é definido por
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},
com \binom{\alpha}{0}=1. Aqui \alpha=\tfrac{1}{2}. Essa série é válida (converge) pelo menos para |u|<1; os extremos u=\pm1 precisam ser verificados caso a caso, mas são frequentemente incluídos dependendo de \alpha. Cada símbolo significa: \alpha é o expoente geral, n é o índice do somatório, e u é a pequena variável em torno de zero.

Passo 4

Aplicando a fórmula com \alpha=\tfrac{1}{2} e multiplicando por 3 (da fatoração feita no Passo 2), obtemos a série em u:
\sqrt{x}=3(1+u)^{1/2}=3\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}u^{n},
onde u=(x-9)/9. Em forma explícita:
\sqrt{x}=3\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}\left(\frac{x-9}{9}\right)^{n}.
Isto já é uma série de potências em (x-9), porque cada termo é uma constante vezes (x-9)^{n}.

Passo 5

Calcular alguns coeficientes iniciais para ficar com uma expressão prática e fácil de usar na prova. Usamos
\binom{1/2}{0}=1,
\binom{1/2}{1}=\frac{1}{2},
\binom{1/2}{2}=\frac{\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}-1\right)}{2!}=\frac{\tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{1}{2})}{2}=-\frac{1}{8},
\binom{1/2}{3}=\frac{\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}-1\right)\left(\tfrac{1}{2}-2\right)}{3!}=\frac{\tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{1}{2})\cdot(-\tfrac{3}{2})}{6}=\frac{1}{16},
\binom{1/2}{4}=\frac{\tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{1}{2})\cdot(-\tfrac{3}{2})\cdot(-\tfrac{5}{2})}{4!}=-\frac{5}{128}.
Substituindo esses primeiros coeficientes e lembrando u=(x-9)/9, obtemos os termos iniciais da série:
\sqrt{x}=3\left[1+\frac{1}{2}u-\frac{1}{8}u^{2}+\frac{1}{16}u^{3}-\frac{5}{128}u^{4}+\cdots\right],
ou seja
\sqrt{x}=3\left[1+\frac{1}{2}\left(\frac{x-9}{9}\right)-\frac{1}{8}\left(\frac{x-9}{9}\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(\frac{x-9}{9}\right)^{3}-\frac{5}{128}\left(\frac{x-9}{9}\right)^{4}+\cdots\right].
Na prova, dar os primeiros 3–4 termos assim costuma ser suficiente para mostrar a expansão.

Passo 6

Determinar o intervalo (raio) de validade da série. A série binomial converge para |u|<1. Podemos justificar rapidamente com o teste da razão aplicado ao termo genérico a_n=\binom{1/2}{n}u^{n}: calculando
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|u\right|\cdot\frac{|1/2-n|}{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}|u|.
Pelo teste da razão, a série converge se |u|<1. Em termos de x,
|u|=\left|\frac{x-9}{9}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-9|<9.
Portanto o raio de convergência em torno de a=9 é 9, e o intervalo aberto correspondente é
(9-9,\;9+9)=(0,\;18).

Passo 7

Verificação dos extremos x=0 e x=18. Aqui u=-1 quando x=0 e u=1 quando x=18. Para \alpha=\tfrac{1}{2} a série binomial converge também em ambos os extremos (resultado clássico da série binomial generalizada: converge em u=1 se \Re(\alpha)>-1, e em u=-1 se \alpha>0; aqui \alpha=\tfrac{1}{2} satisfaz ambas). Intuição rápida: os coeficientes \binom{1/2}{n} têm ordem assintótica \sim C n^{-3/2}, portanto a série de termos absolutos tem p‑série com expoente maior que 1 e converge; no caso alternado (u=-1) também converge por critério de séries alternadas e decaimento dos coeficientes. Assim os extremos x=0 e x=18 são incluídos, e a série representa \sqrt{x} no intervalo fechado [0,18].

Passo 8

Resumindo de forma prática e pronta para a prova: a série de potências centrada em a=9 é dada de forma compacta e em termos explícitos. A forma compacta (fácil de memorizar) é
\sqrt{x}=3\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}\left(\frac{x-9}{9}\right)^{n},
e a forma com os primeiros termos é
\sqrt{x}=3\left[1+\frac{1}{2}\left(\frac{x-9}{9}\right)-\frac{1}{8}\left(\frac{x-9}{9}\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(\frac{x-9}{9}\right)^{3}-\frac{5}{128}\left(\frac{x-9}{9}\right)^{4}+\cdots\right].
O intervalo onde essa série representa \sqrt{x} é 0\le x\le 18, ou seja o intervalo fechado [0,18].

Resposta

\displaystyle \sqrt{x}=3\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}\left(\frac{x-9}{9}\right)^{n} \
\displaystyle \text{ou explicitando os primeiros termos: }\sqrt{x}=3\left[1+\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{x-9}{9}\right)-\tfrac{1}{8}\left(\tfrac{x-9}{9}\right)^{2}+\tfrac{1}{16}\left(\tfrac{x-9}{9}\right)^{3}+\cdots\right] \
\displaystyle \text{Intervalo de representação: }[0,18]çã

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