Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas estão representadas pelas correspondentes séries. f(x)=\sqrt{x}, a=9
Passo 1
O enunciado pede: desenvolver a função f(x)=\sqrt{x} em série de potências centrada em a=9 e informar o intervalo onde essa série representa a função.
Informações dadas: f(x)=\sqrt{x} e o ponto de expansão é a=9.
Objetivo explícito: obter a série de potências em torno de a=9 (ou seja, em potências de x-9) e o intervalo de validade dessa expansão.
Passo 2
Ideia prática para começar (sem resolver ainda): escrever x como 9 mais um pequeno desvio, isto é x=9+(x-9), e fatorar a raiz quadrada para ficar numa forma \text{const}\cdot(1+u)^{\alpha} onde podemos usar a série binomial generalizada. Defino a variável auxiliar
u=\frac{x-9}{9}.
Assim
\sqrt{x}=\sqrt{9+(x-9)}=3\sqrt{1+u}=3(1+u)^{1/2}.
Agora o problema passa a expandir (1+u)^{1/2} em série de potências em u e depois substituir u=(x-9)/9.
Passo 3
Apresentando a ferramenta que vamos usar (com explicação didática): a série binomial generalizada diz que, para \alpha\in\mathbb{R},
com \binom{\alpha}{0}=1. Aqui \alpha=\tfrac{1}{2}. Essa série é válida (converge) pelo menos para |u|<1; os extremos u=\pm1 precisam ser verificados caso a caso, mas são frequentemente incluídos dependendo de \alpha. Cada símbolo significa: \alpha é o expoente geral, n é o índice do somatório, e u é a pequena variável em torno de zero.
Passo 4
Aplicando a fórmula com \alpha=\tfrac{1}{2} e multiplicando por 3 (da fatoração feita no Passo 2), obtemos a série em u:
Na prova, dar os primeiros 3–4 termos assim costuma ser suficiente para mostrar a expansão.
Passo 6
Determinar o intervalo (raio) de validade da série. A série binomial converge para |u|<1. Podemos justificar rapidamente com o teste da razão aplicado ao termo genérico a_n=\binom{1/2}{n}u^{n}: calculando
Portanto o raio de convergência em torno de a=9 é 9, e o intervalo aberto correspondente é
(9-9,\;9+9)=(0,\;18).
Passo 7
Verificação dos extremos x=0 e x=18. Aqui u=-1 quando x=0 e u=1 quando x=18. Para \alpha=\tfrac{1}{2} a série binomial converge também em ambos os extremos (resultado clássico da série binomial generalizada: converge em u=1 se \Re(\alpha)>-1, e em u=-1 se \alpha>0; aqui \alpha=\tfrac{1}{2} satisfaz ambas). Intuição rápida: os coeficientes \binom{1/2}{n} têm ordem assintótica \sim C n^{-3/2}, portanto a série de termos absolutos tem p‑série com expoente maior que 1 e converge; no caso alternado (u=-1) também converge por critério de séries alternadas e decaimento dos coeficientes. Assim os extremos x=0 e x=18 são incluídos, e a série representa \sqrt{x} no intervalo fechado [0,18].
Passo 8
Resumindo de forma prática e pronta para a prova: a série de potências centrada em a=9 é dada de forma compacta e em termos explícitos. A forma compacta (fácil de memorizar) é