Achar a solução de
d yd x=1e^y-x, y(1)=0
Dica: Considere x como variável dependente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução da equação diferencial
dydx = 1e^y - x, y(1) = 0
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, que são parte do cálculo e nos ajudam a entender como uma quantidade varia em relação a outra. Para resolver isso, vamos considerar x como a variável dependente, ou seja, vamos tratar x em função de y . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial considerando x como função de y . Se y depende de x , então x também pode depender de y . Usamos a relação:
dxdy = 1dydx = e^y - x
Isso transforma nossa equação em uma equação diferencial linear na forma:
dxdy + x = e^y

Passo 3

Agora, identificamos os termos da equação diferencial linear:
  • P(y) = 1
  • Q(y) = e^y
Para resolver esse tipo de equação, usamos o fator integrante, que é dado por:
mu(y) = e^integral P(y) dy = e^integral 1 , dy = e^y

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante mu(y) = e^y :
e^y dxdy + e^y x = e^2y
Perceba que a parte esquerda da equação agora é a derivada do produto e^y x :
ddy ( e^y x ) = e^2y

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a y :
integral ddy ( e^y x ) dy = integral e^2y dy
Isso nos dá:
e^y x = 12 e^2y + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Resolvemos para x :
x = 12 e^y + C e^-y

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(1) = 0 para encontrar C . Quando y = 0 e x = 1 :
1 = 12 e^0 + C e^0 1 = 12 + C C = 12

Passo 8

Substituímos C = 12 na expressão de x :
x = 12 e^y + 12 e^-y = e^y + e^-y2
Reconhecemos que isso é a definição do cosseno hiperbólico:
x = cosh(y)

Passo 9

Finalmente, resolvemos para y :
y = cosh^-1(x) y = ln(x + raizx^2 - 1)

Resposta

A solução da equação diferencial é
y(x) = ln(x + raizx^2 - 1)

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