Achar a solução de
Dica: Considere
como variável dependente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução da equação diferencial
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, que são parte do cálculo e nos ajudam a entender como uma quantidade varia em relação a outra. Para resolver isso, vamos considerar
como a variável dependente, ou seja, vamos tratar
em função de
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial considerando
como função de
. Se
depende de
, então
também pode depender de
. Usamos a relação:
Isso transforma nossa equação em uma equação diferencial linear na forma:
Passo 3
Agora, identificamos os termos da equação diferencial linear:
Para resolver esse tipo de equação, usamos o fator integrante, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Perceba que a parte esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
. Quando
e
:
Passo 8
Substituímos
na expressão de
:
Reconhecemos que isso é a definição do cosseno hiperbólico:
Passo 9
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é