Mostre que as integrais a seguir não dependem do caminho C escolhido. Calcule essas integrais: integralC(-e^x cos y) d x+(e^x seny ) d y, onde C é qualquer caminho de (0,0) a (2,1).

Passo 1

O enunciado dá a forma diferencial
omega = P(x,y),dx + Q(x,y),dy
com
P(x,y) = -e^xcos y, Q(x,y) = e^xsin y,
e pede a integral de omega ao longo de qualquer caminho C de (0,0) a (2,1).
Conteúdo: formas diferenciais em R^2, caminho-independência e funções potenciais.
Vamos mostrar que omega é exata (fechada em região simplesmente conectada), encontrar uma potencial f(x,y) tal que df=omega, e então calcular
integralC omega = f(2,1) - f(0,0)

Passo 2

Verificamos se omega é fechada, ou seja, se
partial Ppartial y ;=; partial Qpartial x
Calculando, temos
partial Ppartial y =partialpartial yl(-e^xcos yr) =-e^x,( -sin y) =e^xsin y,
partial Qpartial x =partialpartial xl(e^xsin yr) =e^xsin y
Como partial P/partial y=partial Q/partial x em toda R^2, que é simplesmente conectada, omega é exata.

Passo 3

Procuramos f(x,y) tal que
partial fpartial x=P(x,y), partial fpartial y=Q(x,y)
Integrando P em relação a x,
f(x,y) =integral -e^xcos y,dx =-e^xcos y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.
Agora, impondo partial f/partial y = Q,
partial fpartial y =partialpartial yl(-e^xcos y + h(y)r) =e^xsin y + h'(y) stackrel!= e^xsin y
Logo h'(y)=0, isto é, h(y) é constante que podemos tomar zero.
Portanto
f(x,y) = -e^xcos y

Passo 4

Como a integral de uma forma exata depende só dos extremos, temos
integralC omega =fl(2,1r)-fl(0,0r) =l[-e^2cos(1)r] -l[-e^0cos(0)r] =-e^2cos(1) + 1

Resposta

integralCl(-e^xcos yr),dx + l(e^xsin yr),dy =1 - e^2cos(1)

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