Mostre que as integrais a seguir não dependem do caminho
escolhido. Calcule essas integrais:
seny
, onde
é qualquer caminho de
a
.
Passo 1
O enunciado dá a forma diferencial
com
e pede a integral de
ao longo de qualquer caminho
de
a
.
Conteúdo: formas diferenciais em , caminho-independência e funções potenciais.
Vamos mostrar que é exata (fechada em região simplesmente conectada), encontrar uma potencial
tal que
, e então calcular
Conteúdo: formas diferenciais em
Vamos mostrar que
Passo 2
Verificamos se
é fechada, ou seja, se
Calculando, temos
Como
em toda
, que é simplesmente conectada,
é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integrando
em relação a
,
onde
é função a determinar.
Agora, impondo ,
Agora, impondo
Logo
, isto é,
é constante que podemos tomar zero.
Portanto
Portanto
Passo 4
Como a integral de uma forma exata depende só dos extremos, temos