Utilize o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha: ointC(x d x+x y d y), onde C é o caminho fechado formado por y=0, x^2+y^2=1, (x, y >= 0), x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! O que a gente precisa aqui é calcular uma integral de linha específica, que é a ointC(x , dx + x y , dy). O caminho fechado C é formado por três partes: a reta y=0, a semicircunferência x^2+y^2=1 com y >= 0, e a reta x=0. Pra resolver isso, vamos precisar entender como o Teorema de Green funciona e aplicá-lo corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao longo de um caminho fechado C com uma integral dupla sobre a região D que está dentro de C. A fórmula é:
ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, identificamos P = x e Q = x y. Vamos usar isso para transformar a integral de linha em uma integral dupla.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial (x y)partial x = y
partial Ppartial y = partial xpartial y = 0
Subtraindo essas duas, temos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y - 0 = y
Então, a nossa integral dupla fica:
integral duplaD y , dA

Passo 4

Agora, precisamos definir a região D onde vamos integrar. A região D é limitada pelo caminho C, que é composto pela reta y=0, a semicircunferência x^2+y^2=1 com y >= 0, e a reta x=0. Visualizando, vemos que D é um setor semicircular no primeiro quadrante.
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, já que temos uma semicircunferência. Lembrando que, em coordenadas polares, y = r sintheta e dA = r , dr , dtheta.

Passo 5

Vamos estabelecer os limites de integração em coordenadas polares:
  • O raio r vai de 0 a 1 (porque a circunferência tem raio 1).
  • O ângulo theta vai de 0 a pi (já que estamos lidando com a semicircunferência superior).
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD y , dA = integral0^pi integral0^1 (r sintheta) cdot r , dr , dtheta = integral0^pi integral0^1 r^2 sintheta , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^1 r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 = 13 - 0 = 13
Agora, substituímos esse resultado na integral em theta:
integral0^pi 13 sintheta , dtheta = 13 [ -costheta ]0^pi = 13 ( -cospi + cos0 )
Sabemos que cospi = -1 e cos0 = 1, então:
13 ( -(-1) + 1 ) = 13 (1 + 1) = 23

Resposta

A integral de linha ointC(x , dx + x y , dy) é igual a dfrac23.

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