Utilize o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha:
, onde C é o caminho fechado formado por
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! O que a gente precisa aqui é calcular uma integral de linha específica, que é a
. O caminho fechado
é formado por três partes: a reta
, a semicircunferência
com
, e a reta
. Pra resolver isso, vamos precisar entender como o Teorema de Green funciona e aplicá-lo corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao longo de um caminho fechado
com uma integral dupla sobre a região
que está dentro de
. A fórmula é:
No nosso caso, identificamos
e
. Vamos usar isso para transformar a integral de linha em uma integral dupla.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Subtraindo essas duas, temos:
Então, a nossa integral dupla fica:
Passo 4
Agora, precisamos definir a região
onde vamos integrar. A região
é limitada pelo caminho
, que é composto pela reta
, a semicircunferência
com
, e a reta
. Visualizando, vemos que
é um setor semicircular no primeiro quadrante.
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, já que temos uma semicircunferência. Lembrando que, em coordenadas polares,
e
.
Passo 5
Vamos estabelecer os limites de integração em coordenadas polares:
- O raio
vai de a (porque a circunferência tem raio ). - O ângulo
vai de a (já que estamos lidando com a semicircunferência superior).
Então, a integral dupla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, substituímos esse resultado na integral em
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.