Achar a solução geral das equações seguintes, sendo dada uma solução :

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem x y'' + (x+2)y' + y = 0, sabendo que uma solução é y1(x)=1/x. O conteúdo aqui é equações lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis e vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução e, daí, a solução geral.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0. Dividindo por x (supondo xneq0) obtemos:
y'' + x+2x,y' + 1x,y = 0
Portanto P(x)=x+2x=1+2x e Q(x)=1x.

Passo 3

No método de redução de ordem, usamos a fórmula
y2 = y1(x) integral e^-integral P(x),dxy1(x)^2,dx
Calculamos primeiro
integral P(x),dx = integral l(1+2xr),dx = x + 2ln x
Então
e^-integral P(x),dx = e^-x -2ln x = e^-x x^-2

Passo 4

Substituindo na fórmula de y2:
y2 = 1x integral e^-x x^-2(1/x)^2,dx = 1x integral e^-x,dx = 1x(-e^-x) = -e^-xx
Como toda constante multiplicativa em y2 pode ser absorvida em C2, tomamos
y2(x)=e^-xx

Passo 5

Agora, a solução geral da equação é combinação linear das duas soluções independentes:
y(x)=C1 y1(x) + C2 y2(x) = C11x + C2e^-xx

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1x+C2 e^-xx, onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados