Achar a solução geral das equações seguintes, sendo dada uma solução :

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis
4x^2y''-8xy'+9y=0
É um caso clássico de equação de Euler–Cauchy, em que tentamos uma solução do tipo y=x^m.

Passo 2

Para usar o método de Euler–Cauchy, dividimos a equação por 4x^2 para colocá-la na forma padrão de Euler:
y''-2xy'+94x^2y=0
Em seguida, assumimos y=x^m. Então
y'=m x^m-1, y''=m(m-1)x^m-2

Passo 3

Substituindo y,x y',x^2y'' na equação padrão, temos:
m(m-1)x^m-2-2m x^m-2+94x^m-2=0
Como x^m-2neq0, obtemos a equação característica:
m(m-1)-2m+94=0

Passo 4

Resolvendo a característica:
m^2-m-2m+94=0
m^2-3m+94=0
O discriminante é
De
logo raiz dupla
m=32

Passo 5

Quando a raiz m é dupla em uma equação de Euler–Cauchy, a solução geral é
y(x)=C1x^m+C2x^mln|x|
Substituindo m=tfrac32, temos a solução geral desejada.

Resposta

y(x)=C1x^3/2+C2x^3/2ln|x|

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