Achar a solução geral das equações seguintes, sendo dada uma solução :
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis
É um caso clássico de equação de Euler–Cauchy, em que tentamos uma solução do tipo
.
Passo 2
Para usar o método de Euler–Cauchy, dividimos a equação por
para colocá-la na forma padrão de Euler:
Em seguida, assumimos
. Então
Passo 3
Substituindo
na equação padrão, temos:
Como
, obtemos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a característica:
O discriminante é
logo raiz dupla
Passo 5
Quando a raiz
é dupla em uma equação de Euler–Cauchy, a solução geral é
Substituindo
, temos a solução geral desejada.