a. Verificar que 1 e 2 são raízes do polinômio l y^(4)-3 y^(3)+3 y^prime prime-3 y^prime+2 y=0 y(0)=y^prime(0)=y^prime prime(0)=0 y^(3)=1 .
b. Fatorizar o polinômio .
c. Resolver o problema seguinte usando a transformada de Laplace :

Passo 1

O enunciado pede três coisas: primeiro verificar que 1 e 2 anulam o polinômio p(x)=x^4-3x^3+3x^2-3x+2, depois fatorar esse polinômio em fatores lineares e quadráticos, e por fim resolver a EDO
y^(4)-3y^(3)+3y''-3y'+2y=0
com condições iniciais
y(0)=y'(0)=y''(0)=0, y^(3)(0)=1
usando transformada de Laplace.

Passo 2

Para ver se x=1 e x=2 são raízes, basta avaliar
p(1)=1-3+3-3+2=0,
p(2)=16-24+12-6+2=0
Como os dois dão zero, 1 e 2 são realmente raízes de p(x).

Passo 3

Para fatorar, aplicamos divsão sintética duas vezes. Primeiro por x-1 e depois por x-2, o que mostra que a parte restante é x^2+1. Logo,
p(x)=(x-1)(x-2)(x^2+1)

Passo 4

Agora aplicamos Laplace à EDO. Seja Y(s)= Ly(t). Usando as condições iniciais, obtemos
(s^4Y(s)-1)-3(s^3Y(s))+3(s^2Y(s))-3(sY(s))+2Y(s)=0,
ou seja
Y(s)igl(s^4-3s^3+3s^2-3s+2r)=1 
E como s^4-3s^3+3s^2-3s+2=(s-1)(s-2)(s^2+1), temos
Y(s)=1(s-1)(s-2)(s^2+1)

Passo 5

Fazendo frações parciais,
1(s-1)(s-2)(s^2+1)=As-1+Bs-2+Cs+Ds^2+1,
com
A=-tfrac12, B=tfrac15, C=tfrac310, D=tfrac110

Passo 6

Invertendo a transformada para cada termo, a gente acha
L^-1 -tfrac12/(s-1)=-tfrac12e^t, L^-1tfrac15/(s-2)=tfrac15e^2t,
L^-1(3/10),s/(s^2+1)=tfrac310cos t, L^-1(1/10)/(s^2+1)=tfrac110sin t
Somando tudo, chega-se à solução.

Passo 7

Juntando os termos, obtemos
y(t) = -\tfrac12e^t + \tfrac15e^{2t} + \tfrac{3}{10}\cos t + \tfrac{1}{10}\sin t.

Resposta

y(t) = -\tfrac12e^t + \tfrac15e^{2t} + \tfrac{3}{10}\cos t + \tfrac{1}{10}\sin t

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