a. Verificar que 1 e 2 são raízes do polinômio .
b. Fatorizar o polinômio .
c. Resolver o problema seguinte usando a transformada de Laplace :
Passo 1
O enunciado pede três coisas: primeiro verificar que 1 e 2 anulam o polinômio p(x)=x^4-3x^3+3x^2-3x+2, depois fatorar esse polinômio em fatores lineares e quadráticos, e por fim resolver a EDO
y^(4)-3y^(3)+3y''-3y'+2y=0
com condições iniciais
y(0)=y'(0)=y''(0)=0, y^(3)(0)=1
usando transformada de Laplace.
Passo 2
Para ver se x=1 e x=2 são raízes, basta avaliar
p(1)=1-3+3-3+2=0,
p(2)=16-24+12-6+2=0
Como os dois dão zero, 1 e 2 são realmente raízes de p(x).
Passo 3
Para fatorar, aplicamos divsão sintética duas vezes. Primeiro por x-1 e depois por x-2, o que mostra que a parte restante é x^2+1. Logo,
p(x)=(x-1)(x-2)(x^2+1)
Passo 4
Agora aplicamos Laplace à EDO. Seja Y(s)= Ly(t). Usando as condições iniciais, obtemos