Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções abaixo.
f(t)=2t^2-16

Passo 1

Estamos com a função racional f(t)=2t^2-16. O conteúdo é domínio de funções racionais (evitar zeros no denominador) e imagem de funções por análise algébrica e de sinais. Vamos precisar usar limites para ver até onde f atinge valores positivos e negativos.

Passo 2

Para achar o domínio, identificamos que o denominador não pode ser zero, ou seja,
t^2-16neq0
Logo,
t^2neq16implies tneqpm4
Portanto o domínio é Rsetminus-4,4.

Passo 3

Agora vamos à imagem. Começamos definindo y=f(t):
y=2t^2-16

Passo 4

Isolamos t^2:
y(t^2-16)=2Longrightarrow yt^2-16y-2=0Longrightarrow t^2=2+16yy=2y+16

Passo 5

Como t^2>=0, devemos ter
2+16yy>=0

Passo 6

Isso é uma inequação de sinal de uma fração. O produto (2+16y) e y deve ser não negativo. Analisando os pontos críticos:
  • y=0 (não pode, pois implicaria 2=0)
  • 2+16y=0implies y=-tfrac18.

Passo 7

Fazendo o estudo de sinais concluímos que a fração é não negativa se
y>0ou y<=-tfrac18
Como y=0 nunca ocorre, a imagem é
(-infty,-tfrac18]cup(0,+infty)

Resposta

Domínio: Rsetminus-4,4. Imagem: .

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