Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
Estamos com a função racional
. O conteúdo é domínio de funções racionais (evitar zeros no denominador) e imagem de funções por análise algébrica e de sinais. Vamos precisar usar limites para ver até onde
atinge valores positivos e negativos.
Passo 2
Para achar o domínio, identificamos que o denominador não pode ser zero, ou seja,
Logo,
Portanto o domínio é
.
Passo 3
Agora vamos à imagem. Começamos definindo
:
Passo 4
Isolamos
:
Passo 5
Como
, devemos ter
Passo 6
Isso é uma inequação de sinal de uma fração. O produto
e
deve ser não negativo. Analisando os pontos críticos:
-
(não pode, pois implicaria ) -
.
Passo 7
Fazendo o estudo de sinais concluímos que a fração é não negativa se
Como
Resposta
Domínio:
. Imagem:
.