Determine as regras de f circ g e g circ f em que:
f(x)=|x|x e g(x)=41+x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as funções compostas fcirc g e gcirc f, onde
f(x)=|x|x, g(x)=41+x^2
Vamos usar a definição de composição: (fcirc g)(x)=f(g(x)) e (gcirc f)(x)=g(f(x)), cuidando também dos domínios.

Passo 2

Para calcular (fcirc g)(x), substituímos g(x) em f:
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=l|g(x)r|g(x)=l|41+x^2r|41+x^2
Como 41+x^2>0 para todo xinR, temos
(fcirc g)(x)=1 e, já que g(x) nunca é zero, o domínio de fcirc g é todo R.

Passo 3

Para calcular (gcirc f)(x), substituímos f(x) em g:
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=41+l(f(x)r)^2=41+l(|x|xr)^2
Para xneq0, temos l(|x|xr)^2=1, logo
(gcirc f)(x)=41+1=2.
Como f(x)=|x|x não está definida em x=0, o domínio de gcirc f é Rsetminus0.

Resposta

(fcirc g)(x)=1 para todo xinR e (gcirc f)(x)=2 para todo xneq0.

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