Achar a solução geral das equações seguintes, sendo dada uma solução :

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem x y''-(x+2) y'+2 y=0, e já temos uma solução conhecida y1(x)=e^x. Isso é conteúdo de equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis, e vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução independente.

Passo 2

Primeiro, colocamos a EDO na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0. Dividindo tudo por x (supondo xneq0), obtemos
y''-x+2xy'+2xy=0.
Assim, identificamos
p(x)=-1-2x, q(x)=2x

Passo 3

No método de redução de ordem, a segunda solução y2 pode ser escrita como
y2=y1,v(x),
e a função v(x) satisfaz
v'(x)=e^-integral p(x),dxy1(x)^2
Vamos calcular primeiro o fator
e^-integral p(x),dx=e^-integrall(-1-tfrac2xr)dx=e^integral(1+2/x)dx=e^x+2ln|x|=e^x x^2

Passo 4

Agora substituímos na expressão de v':
$$v’(x)=\frac{e^x x2}{(ex)2}=x2e^{-x}.
v'(x)=e^x x^2(e^x)^2=x^2e^-x v(x)=\int x2e{-x}dx.$$

Passo 5

Fazendo integração por partes em integral x^2e^-xdx:
  1. Seja u=x^2, dv=e^-xdx du=2x dx, v=-e^-x.
  2. Logo
integral x^2e^-xdx=-x^2e^-x+integral2x e^-xdx
3) Para integral2x e^-xdx, repete-se partes: resulta -2x e^-x-2e^-x.
4) Assim
integral x^2e^-xdx=-e^-x(x^2+2x+2)+C

Passo 6

Ignorando constantes na segunda solução (pois qualquer múltiplo linear serve), temos
$$y_2=ex\bigl(-e{-x}(x2+2x+2)\bigr)=-(x2+2x+2).
y2=e^xl(-e^-x(x^2+2x+2)r)=-(x^2+2x+2) y_2(x)=x^2+2x+2.$$
Finalmente, a solução geral é combinação linear de y2(x)=x^2+2x+2 e y1.

Resposta

y(x)=C1e^x+C2l(x^2+2x+2r)

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