Achar a solução geral das equações seguintes, sendo dada uma solução :
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem
, e já temos uma solução conhecida
. Isso é conteúdo de equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis, e vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução independente.
Passo 2
Primeiro, colocamos a EDO na forma padrão
. Dividindo tudo por
(supondo
), obtemos
Assim, identificamos
Passo 3
No método de redução de ordem, a segunda solução
pode ser escrita como
e a função
Vamos calcular primeiro o fator
Passo 4
Agora substituímos na expressão de
:
$$v’(x)=\frac{e^x x2}{(ex)2}=x2e^{-x}.
Passo 5
Fazendo integração por partes em
:
- Seja
, ⇒ , . - Logo
3) Para
4) Assim
Passo 6
Ignorando constantes na segunda solução (pois qualquer múltiplo linear serve), temos
$$y_2=ex\bigl(-e{-x}(x2+2x+2)\bigr)=-(x2+2x+2).
Finalmente, a solução geral é combinação linear de
e
.