Achar a solução geral das equações seguintes, sendo dada uma solução :

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis, dado que uma solução particular é y1(x)=e^-x. Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução y2 e depois compor a solução geral.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 dividindo tudo por x. Assim obtemos P(x)=x-1x=1-1x e Q(x)=-1x.

Passo 3

No método de redução de ordem, a segunda solução pode ser escrita como
y2(x) = y1(x) integral e^-integral P(x),dxy1(x)^2,dx Precisamos então calcular integral P(x),dx.

Passo 4

Calculemos
integral P(x),dx = integrall(1 - 1xr),dx = x - ln x Portanto
e^-integral P(x),dx = e^-x + ln x = x e^-x

Passo 5

Substituímos na expressão de y2:
y2(x) = e^-x integral x e^-x(e^-x)^2,dx = e^-x integral x e^x,dx

Passo 6

Calculemos
integral x e^x,dx = x e^x - e^x = (x-1)e^x Logo
y2(x) = e^-x, (x-1)e^x = x - 1

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1 e^-x + C2 (x-1),
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

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