Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções.
f(x)=1x-1+3

Passo 1

A questão pede para esboçar o gráfico da função racional f(x)=1x-1+3. O conteúdo envolvido é transformação de hipérbole básica y=1/x, aplicando translações horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de f. Como o denominador não pode ser zero, temos x-1neq0, ou seja, xneq1.
Em seguida determinamos as assíntotas da função. A assíntota vertical ocorre quando o denominador tende a zero: x=1. A assíntota horizontal é o valor limite de f(x) quando xtopminfty, que aqui é y=3.

Passo 3

Reconhecemos que f é a hipérbole padrão y=1/x transladada 1 unidade para a direita e 3 unidades para cima. Ou seja, partimos de y=1/x e fazemos as transformações:

Passo 4

Escolhemos alguns pontos para orientar o esboço. Para x>1:
x=2implies f(2)=1/(2-1)+3=4
x=3implies f(3)=1/2+3=3,5
Para x<1:
x=0implies f(0)=1/(0-1)+3=2
x=0,5implies f(0,5)=1/(-0,5)+3=1

Passo 5

Por fim, no esboço desenhamos as assíntotas x=1 (vertical) e y=3 (horizontal). Em cada região ( x>1 e x<1) traçamos os ramos da hipérbole aproximando-se das assíntotas e passando pelos pontos calculados.

Resposta

O gráfico é uma hipérbole com assíntota vertical em x=1 e horizontal em y=3, obtida ao transladar y=1/x uma unidade para a direita e três para cima. O ramo para x>1 decresce vindo de +infty em xto1^+ até se aproximar de y=3 em xto+infty. O ramo para x<1 cresce de -infty em xto1^- até se aproximar de y=3 em xto-infty.

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