Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções.
Passo 1
A questão pede para esboçar o gráfico da função racional
. O conteúdo envolvido é transformação de hipérbole básica
, aplicando translações horizontal e vertical.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio de
. Como o denominador não pode ser zero, temos
, ou seja,
.
Em seguida determinamos as assíntotas da função. A assíntota vertical ocorre quando o denominador tende a zero: . A assíntota horizontal é o valor limite de
quando
, que aqui é
.
Em seguida determinamos as assíntotas da função. A assíntota vertical ocorre quando o denominador tende a zero:
Passo 3
Reconhecemos que
é a hipérbole padrão
transladada 1 unidade para a direita e 3 unidades para cima. Ou seja, partimos de
e fazemos as transformações:
Passo 4
Escolhemos alguns pontos para orientar o esboço. Para
:
Para :
Para
Passo 5
Por fim, no esboço desenhamos as assíntotas
(vertical) e
(horizontal). Em cada região (
e
) traçamos os ramos da hipérbole aproximando-se das assíntotas e passando pelos pontos calculados.
Resposta
O gráfico é uma hipérbole com assíntota vertical em
e horizontal em
, obtida ao transladar
uma unidade para a direita e três para cima. O ramo para
decresce vindo de
em
até se aproximar de
em
. O ramo para
cresce de
em
até se aproximar de
em
.