Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função y=y(x) :
  • 10.) y^{\prime \prime}-y=x^{2}-x+1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear não homogênea de segunda ordem
y'' - y = x^2 - x + 1
com coeficientes constantes. Para isso, vamos obter a solução complementar (homogênea) e uma solução particular, e em seguida somá-las.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - y = 0.
A equação característica é
r^2 - 1 = 0\quad\Longrightarrow\quad r = \pm 1.
Logo, a solução complementar é
y_c(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a solução particular, como o termo forçante x^2 - x + 1 é um polinômio de grau 2, tomamos o ansatz
y_p(x) = A x^2 + B x + C.
Então
y_p'(x) = 2A x + B, \qquad y_p''(x) = 2A.
Substituindo em y'' - y = x^2 - x + 1, temos
2A - \bigl(A x^2 + B x + C\bigr) = x^2 - x + 1.

Passo 4

Reescrevendo o lado esquerdo:
-\,A x^2 + (2A - B)\,x + (2A - C) = x^2 - x + 1.
Igualando coeficientes de potências de x\), obtemos o sistema \[\begin{cases} -\,A = 1,\\\\ 2A - B = -1,\\\\ 2A - C = 1. \end{cases}
Da primeira equação vem A = -1\]. Substituindo em \(2A - B = -1
2(-1) - B = -1\quad\Longrightarrow\quad B = -1,
e em 2A - C = 1
2(-1) - C = 1\quad\Longrightarrow\quad C = -3.
Portanto,
y_p(x) = -x^2 - x - 3.

Passo 5

A solução geral é a soma da parte complementar e da particular:
y(x) = y_c(x) + y_p(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} - x^2 - x - 3.

Resposta

\boxed{y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} - x^2 - x - 3.}

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